На каком рассуждении строится доказательство от противного?

Кратко: доказательство от противного строится на рассуждении, где мы предположим ложность утверждения, которое хотим доказать, и затем выведем из этого предположения противоречие. Значит, исходное утверждение истинно. Подробно по шагам: - Шаг 1. Выберите утверждение P, которое нужно доказать. - Шаг 2. Предположите его противоположность, значит не P истинно. - Шаг 3. Из этого предположения с помощью известных аксиом, определений и уже доказанных фактов выведите логически неизбежное противоречие (например, A и не A, или 1=0, или что-то явно неверное). - Шаг 4. Раз не P привело к противоречию, следовательно, не P ложно, а значит P истинно. - Шаг 5. В некоторых случаях после вывода P можно отдельно указать, почему противоречие возникло именно из предположения не P. Замечания: - Доказательство от противного опирается на закон исключённого третьего и закон непротиворечия в классической логике. В некоторых форматах логики (интуиционистской) такой ход может быть недопустим. - Часто этот метод сравнивают с прямым доказательством или доказательством по contrapositive (противопоставление). Пример (похож на то, что изучают в школе): Утверждение P: квадратный корень из 2 иррационален. - Предположим наоборот: P неверно, то есть √2 рационально. - Тогда можно записать √2 в виде дроби a/b в несократимой форме (gcd(a, b) = 1). - Возведём в квадрат: 2 = a^2 / b^2, значит 2 b^2 = a^2. - Значит a^2 чётно, поэтому и a чётно (пусть a = 2k). Тогда 2 b^2 = 4k^2, следовательно b^2 = 2k^2, значит b тоже чётно. - Но тогда оба числа a и b чётные, что противоречит условию несократимости дроби (gcd(a, b) = 1). - Противоречие значит, предположение "√2 рационально" ложно. Следовательно, √2 иррационален. Если хотите, могу привести ещё примеры применительно к конкретному предмету или уровню сложности.