(ctg 2πx-10π/3) = √3 Решите уравнение В ответе укажите наименьший неотрицательный корень.

Задача: cot(2πx − 10π/3) = √3. Найдите наименьшее неотрицательное решение x.

Пошаговое решение:

1. Пусть θ = 2πx − 10π/3. Тогда cot θ = √3. Это эквивалентно tan θ = 1/√3. Общий вид решений: θ = π/6 + kπ, где k ∈ Z.

2. Подставим θ обратно: 2πx − 10π/3 = π/6 + kπ.

3. Решим по x: 2πx = π/6 + kπ + 10π/3 = (π/6 + 20π/6) + kπ = 21π/6 + kπ = 7π/2 + kπ. Следовательно, x = (7π/2 + kπ) / (2π) = 7/4 + k/2.

   Итак, вся совокупность корней: x = 7/4 + k/2, k ∈ Z.

4. Найдём наименьшее неотрицательное значение: Для k = -3 получаем x = 7/4 − 3/2 = 7/4 − 6/4 = 1/4. При k = -4 x = 7/4 − 2 = -1/4 (отрицательно), значит больше не подходит.

Ответ: наименьший неотрицательный корень x = 1/4.