Отрезки LF и ME пересекаются в точке K. Треугольники LMK и KFE — равнобедренные. LM = MK, KE = EF. Угол KFE = 48°. Найдите угол ∠MLK. На отрезках FK и FE отметили точки A и B так,…
Отрезки LF и ME пересекаются в точке K. Треугольники LMK и KFE — равнобедренные. LM = MK, KE = EF. Угол KFE = 48°. Найдите угол ∠MLK. На отрезках FK и FE отметили точки A и B так, что FB = ML и AF = LK. Докажите, что △LMK = △AFB. Запишите решение и ответ. из какого учебника задача
Решение задачи
Даны: отрезки LF и ME пересекаются в K; треугольники LMK и KFE равнобедренные: LM = MK и KE = EF. Угол KFE = 48°. На отрезках FK и FE отметили точки A и B так, что AF = LK и FB = ML. Нужно доказать, что △LMK ≅ △AFB и найти угол ∠MLK.
- Очевидные коллинеарности
- Так как K лежит на LF, точки L, F, K лежат на одной прямой.
- Так как K лежит на ME, точки M, E, K лежат на одной прямой.
Угол в треугольнике KFE KE = EF значит, треугольник KFE равнобедрен по основания KF, следовательно основания KF — противоположные сторонам KE и EF. Поэтому углы при K и F равны: ∠EKF = ∠KFE = 48° (дано ∠KFE = 48°).
Угол ∠LKM Так как KL лежит на KF, а KM лежит на KE, то ∠LKM — это угол между линиями KF и KE. Таким образом, ∠LKM = ∠EKF = 48°.
Угол ∠MLK в треугольнике LMK Треугольник LMK равнобедрен по LM = MK, значит базовые углы при L и K равны: ∠MLK = ∠LKM = 48°. Отсюда ∠MLK = 48°.
Соотношения сторон в треугольниках LMK и AFB
- FB = ML (условие)
- AF = LK (условие)
- Включённый угол между сторонами LM и LK в треугольнике LMK равен включённому углу между FA и FB в треугольнике AFB, потому что: • угол между LM и LK — это ∠MLK, равный 48°, • угол между FB и FA — это ∠BFA (или ∠AFB), который есть угол между линиями FE и FK на точках B и A; этот угол равен ∠KFE = 48°.
Следовательно, по признак SAS треугольники LMK и AFB конгруэнтны: △LMK ≅ △AFB.
- Ответ по углу Из конгруэнтности соответствие сторон и углов сохраняется, в частности ∠MLK в △LMK соответствует углу ∠BFA в △AFB, оба равны 48°. Значит искомый угол ∠MLK равен 48°.
Итого:
- ∠MLK = 48°.
- △LMK ≅ △AFB (доказано по SAS).
О учебнике Точный источник формулировки задачи определить невозможно по данному тексту: такие условия встречаются в разных сборниках по геометрии и ГДЗ для школьников (могут быть различия в формулировке издания). Если нужна конкретная ссылка, пришлите изображение задачи или дополнительный контекст — постараюсь найти близкую версию.
