найти интегралы от иррациональных функций √x/√x+1

Задача звучит как найти интеграл от иррациональной функции в виде √x/(√x + 1). Ниже приведено подробное решение и объяснение. Обратите внимание на возможную неоднозначность: иногда пишут √x/√x+1 без скобок, что может означать разные выражения. Я разберу наиболее вероятную трактовку и также quickly упомяну альтернативу.

Верная трактовка: ∫ [√x / (√x + 1)] dx, при x ≥ 0.

1. Способ 1: разложение интеграла через упрощение дроби

• Заметим, что: √x/(√x + 1) = [(√x + 1) − 1]/(√x + 1) = 1 − 1/(√x + 1).
• Тогда интеграл разбивается на два простых: I = ∫ dx − ∫ dx/(√x + 1) = x − ∫ dx/(√x + 1).
• Теперь найдем J = ∫ dx/(√x + 1). Пусть t = √x, тогда x = t^2, dx = 2t dt. Получаем: J = ∫ [1/(t + 1)] · (2t dt) = 2 ∫ t/(t + 1) dt. Делаем разложение в дроби: t/(t + 1) = 1 − 1/(t + 1). Следовательно: J = 2 ∫ [1 − 1/(t + 1)] dt = 2t − 2 ln|t + 1| + C = 2√x − 2 ln(√x + 1) + C.
• Подставляем обратно в I: I = x − (2√x − 2 ln(√x + 1)) + C = x − 2√x + 2 ln(√x + 1) + C.
• Ответ: ∫ √x/(√x + 1) dx = x − 2√x + 2 ln(√x + 1) + C, для x ≥ 0.

2. Способ 2: замена t = √x (похожий, но напрямую показывает шаги)

• Пусть t = √x → x = t^2, dx = 2t dt.
• I = ∫ [t/(t+1)] · 2t dt = ∫ [2t^2/(t+1)] dt.
• Разделим числитель на знаменатель: t^2/(t+1) = t − 1 + 1/(t+1). Значит I = ∫ [2t − 2 + 2/(t+1)] dt = t^2 − 2t + 2 ln(t+1) + C.
• Подставляем t = √x: I = x − 2√x + 2 ln(√x + 1) + C.
• Это тот же результат.

Проверка: дифференцируем полученный ответ: d/dx [x − 2√x + 2 ln(√x + 1)] = 1 − 1/√x + 1/[√x(√x + 1)] = (√x(√x + 1) − (√x + 1) + 1) / [√x(√x + 1)] = x / [√x(√x + 1)] = √x/(√x + 1). Значит, решение корректно.

Дополнение: альтернативная трактовка Если задача была записана как √x/√x + 1 без скобок, то по принципу операций деления сначала выполняется деление, затем сложение:

• √x/√x = 1 для x > 0, поэтому выражение становится 1 + 1 = 2.
• Интеграл тогда: ∫ 2 dx = 2x + C.

Если же подразумевается выражение √x/(√x + 1) (как в основном варианте), приведённое решение выше верно.

Контекст для учебных целей

• Этот пример хорошо иллюстрирует две идеи:
  1. упрощение рациональных выражений с иррациональными частями через преобразование дроби: √x/(√x+1) = 1 − 1/(√x+1);
  2. замены переменных и стандартные приемы интегрирования дробей, где в результате появляется логарифм ln(√x + 1).

Если хотите, могу привести ещё один вариант разъяснения или решить аналогичную задачу с другим видом иррациональных функций.