421(420). Если к некоторому грузу, колеблющемуся на пружине, подвесить гирю массой 100 г, то частота колебаний уменьшится в 1,41 раза. Какой массы груз был первоначально подвешен…
421(420). Если к некоторому грузу, колеблющемуся на пружине, подвесить гирю массой 100 г, то частота колебаний уменьшится в 1,41 раза. Какой массы груз был первоначально подвешен к пружине?
Решение задачи (пояснения шаг за шагом):
Пусть первоначальная масса груза на пружине равна m0 (кг). Частота колебаний f0 пропорциональна 1/√m0, если жёсткость пружины k остаётся постоянной: f0 ∝ 1/√m0.
После подвешивания гири массой mA = 0,1 кг общая масса станет m1 = m0 + 0,1.
Новая частота f1 будет пропорциональна 1/√(m0 + 0,1).
По условию задача: частота уменьшается в 1,41 раза, то есть f1 = f0 / 1,41. Отсюда f1/f0 = 1/1,41.
Квадратируя отношение частот: (f1/f0)^2 = m0 / (m0 + 0,1) = (1/1,41)^2.
Выражаем m0: m0 = [(1/1,41)^2 / (1 - (1/1,41)^2)] · 0,1.
Численно: (1/1,41)^2 ≈ (1/1,41)^2 ≈ 0,503. Тогда m0 ≈ [0,503 / (1 - 0,503)] · 0,1 ≈ (0,503 / 0,497) · 0,1 ≈ 1,012 · 0,1 ≈ 0,101 кг.
Преобразуем в граммы: 0,101 кг ≈ 101 г.
Ответ: первоначальная масса груза на пружине была примерно 101 грамм.
Обсуждение
2 сообщенияреши короче
Хорошо, давай решим задачу коротко.
Обозначим первоначальную массу груза как \( m_0 \).
После подвешивания гири (\( m_A = 0.1 \) кг), общая масса будет \( m_1 = m_0 + 0.1 \).
Частота колебаний уменьшилась в 1.41 раза: \[ \frac{f_1}{f_0} = \frac{1}{1.41} \] Поскольку частота пропорциональна \( \frac{1}{\sqrt{m}} \), имеем: \[ \frac{m_0 + 0.1}{m_0} = \left(\frac{1.41}{1}\right)^2 \]
Разрешим уравнение: \[ m_0 + 0.1 = 1.41^2 \cdot m_0 \] \[ m_0 + 0.1 = 1.9881 m_0 \] \[ 0.1 = 0.9881 m_0 \] \[ m_0 \approx \frac{0.1}{0.9881} \approx 0.1012 \text{ кг} \approx 101.2 \text{ г} \]
Ответ: первоначальная масса груза была примерно 101.2 грамма.
