Реши задачу В треугольниках ABС и DMN стороны AB = 8 см, ВС = 12 см, АС = 16 см, DM = 10 см, MN = 15 см, ND = 20 см. Найди отношение площадей треугольников ABC и DMN.

Задача: для треугольников ABC и DMN заданы стороны AB=8 см, BC=12 см, AC=16 см; DM=10 см, MN=15 см, ND=20 см. Найти отношение площадей SABC к SDMN.

Решение по шагам (используем формулу Герона).

1. Треугольник ABC

• s1 = (AB + BC + AC)/2 = (8 + 12 + 16)/2 = 36/2 = 18
• SABC = sqrt[ s1 (s1 − AB) (s1 − BC) (s1 − AC) ] = sqrt[ 18 (18 − 8) (18 − 12) (18 − 16) ] = sqrt[ 18 · 10 · 6 · 2 ] = sqrt[2160] = 12√15

2. Треугольник DMN

• s2 = (DM + MN + ND)/2 = (10 + 15 + 20)/2 = 45/2 = 22.5
• SDMN = sqrt[ s2 (s2 − DM) (s2 − MN) (s2 − ND) ] = sqrt[ (45/2) (45/2 − 10) (45/2 − 15) (45/2 − 20) ] = sqrt[ (45/2) · (25/2) · (15/2) · (5/2) ] = sqrt[ 84375 / 16 ] = (75√15)/4

3. Отношение площадей SABC : SDMN = (12√15) : (75√15/4) = 12 ÷ (75/4) = 12 · 4 / 75 = 48/75 = 16/25

Ответ: отношение площадей равно 16:25.