На продолжении боковой стороны АВ равнобедренного треугольника АВС взяли точку К, а на продолжении основания АС точку М так, что АК=АВ и СМ=АС. Докажите, что СК=ВМ.

Задача: В равнобедренном треугольнике ABC с основаниями AC (то есть AB = BC) взяли точку K на продолжении боковой стороны AB так, что AK = AB, и точку M на продолжении основания AC так, что CM = AC. Докажите, что CK = BM. Пошаговое решение (координатный метод): 1) Задаём удобные координаты. - ПустьAC является основанием, поэтому можно поместить его на ось x: A = (-d, 0), C = (d, 0) с d > 0. - Так как треугольник равнобедренный и AB = BC, вершина B лежит на оси перпендикулярной AC через середину AC, т.е. B = (0, h) с h > 0. 2) Найдём координаты K. - K находится на продолжении AB за точкой A, так что AK = AB, и B, A, K лежат на одной прямой с очередностью B — A — K. - Такие условия эквивалентны тому, что A является серединой отрезка BK (AK = AB и B, A, K коллинеарны). - Следовательно K совпадает с отражением точки B относительно точки A: K = 2A − B. - Подставим координаты: A = (−d, 0), B = (0, h) → K = (−2d, −h). 3) Найдём координаты M. - M лежит на продолжении AC за точкой C, так что CM = AC, и A, C, M коллинеарны с очередностью A — C — M. - Это значит, что C является серединой AM, то есть M = 2C − A. - Подставим координаты: C = (d, 0), A = (−d, 0) → M = (3d, 0). 4) Вычислим CK и BM. - CK: вектор = K − C = (−2d − d, −h − 0) = (−3d, −h). Длина CK^2 = (−3d)^2 + (−h)^2 = 9d^2 + h^2. - BM: вектор = M − B = (3d − 0, 0 − h) = (3d, −h). Длина BM^2 = (3d)^2 + (−h)^2 = 9d^2 + h^2. Так как CK^2 = BM^2, получаем CK = BM. 5) Вывод. Для заданных условий CK = BM выполняется, что и требовалось. Дополнительная заметка (мягко синтетический взгляд): AK = AB означает, что A — середина BK (K — образ B в точке A). CM = AC означает, что C — середина AM (M — образ A в точке C). В равнобедренном треугольнике AB = BC ось симметрии треугольника относительно перпендикуляра к основанию AC через середину AC даёт симметричные соотношения. Однако чисто геометрически доказательство через перемещения (двойной поворот на 180 градусов вокруг A и вокруг C) можно преобразовать в эквивалентное доказательство равенства CK и BM — но координатный вариант выше даёт ясный и прямой вывод.