(x+5)(x-7)/3x-1>0

Задача: (x+5)(x-7) / (3x-1) > 0 Пояснение и шаги решения 1) Область определения Делитель не должен быть нулём: 3x - 1 ≠ 0 → x ≠ 1/3. Порядок решения сохраняет отрицательное значение, но не забываем исключать x = 1/3 в дальнейшем. 2) Нули числителя и знаменателя - Нули числителя: x + 5 = 0 → x = -5; x - 7 = 0 → x = 7. - Нули знаменателя: 3x - 1 = 0 → x = 1/3. Эти значения делят вещественную прямую на четыре промежутка: (-∞, -5), (-5, 1/3), (1/3, 7), (7, ∞). 3) Признаки знаков на интервалах Для каждого интервала подставим произвольное значение и определим знак выражения E = (x+5)(x-7)/(3x-1). - Интервал (-∞, -5): возьмём x = -6 x+5 < 0, x-7 < 0 → произведение положительное; 3x-1 < 0 → знаменатель отрицательный; E = положительное / отрицательное = отрицательное. - Интервал (-5, 1/3): возьмём x = 0 x+5 > 0, x-7 < 0 → произведение отрицательное; 3x-1 < 0 → знаменатель отрицательный; E = отрицательное / отрицательное = положительное. - Интервал (1/3, 7): возьмём x = 1 x+5 > 0, x-7 < 0 → произведение отрицательное; 3x-1 > 0 → знаменатель положительный; E = отрицательное / положительное = отрицательное. - Интервал (7, ∞): возьмём x = 8 x+5 > 0, x-7 > 0 → произведение положительное; 3x-1 > 0 → знаменатель положительный; E = положительное / положительное = положительное. 4) Вывод Решение не включает точки, где числитель или знаменатель обращаются в нуль (они дают ноль или недопустимы): x ≠ -5, x ≠ 7, x ≠ 1/3. По знакам на интервалах E > 0 на следующих участках: - (-5, 1/3) - (7, ∞) Ответ: x ∈ (-5, 1/3) ∪ (7, ∞)