Сторона равностороннего треугольника равна 7. Найдите длину отрезка, соединяющего вершину треугольника с точкой, делящей противоположную сторону в отношении 2:1. В ответе запишите…
Сторона равностороннего треугольника равна 7. Найдите длину отрезка, соединяющего вершину треугольника с точкой, делящей противоположную сторону в отношении 2:1. В ответе запишите число, возведённое в квадрат
Задача: равносторонний треугольник со стороной 7. Точка D лежит на противоположной стороне BC и делит её в отношении 2:1 (BD:DC = 2:1). Найдем AD^2.
Пусть вершины: B = (0, 0), C = (7, 0). Тогда высота треугольника равна h = (√3/2)·7 = 7√3/2, и вершина A расположена в середине основания по x: A = (7/2, 7√3/2).
Поскольку BD:DC = 2:1 на стороне BC длиной 7, BD = (2/3)·7 = 14/3. Следовательно D находится на оси x в точке x = 14/3, y = 0: D = (14/3, 0).
Найдем AD^2: AD^2 = (x_A − x_D)^2 + (y_A − y_D)^2 = (7/2 − 14/3)^2 + (7√3/2)^2 = (−7/6)^2 + (49·3)/4 = 49/36 + 147/4 = 49/36 + 1323/36 = 1372/36 = 343/9.
Ответ: 343/9. (Если нужно, длина AD = √(343/9) = 7√7/3.)
