Разложить на множители m⁴-81n²

Разбираем задачу: разложить на множители выражение m^4 − 81n^2. Пошаговое решение: 1) Признаем разность квадратов - m^4 можно записать как (m^2)^2, а 81n^2 — как (9n)^2. - Следовательно, m^4 − 81n^2 = (m^2)^2 − (9n)^2. 2) Применяем формулу разности квадратов - a^2 − b^2 = (a − b)(a + b). - Получаем: m^4 − 81n^2 = (m^2 − 9n)(m^2 + 9n). 3) Можно ли разложить дальше над целыми числам? - m^2 − 9n можно разложить далее только если 9n является квадратом целого числа, то есть если n является квадратом. Пусть n = t^2. - Тогда m^2 − 9n = m^2 − 9t^2 = (м − 3t)(м + 3t) (разложение разности квадратов). Итого: - Если n не является квадратом: разложение минимальное над целыми числами — (m^2 − 9n)(m^2 + 9n). - Если n = t^2 (то есть n — квадрат): полное разложение над целыми числами — (m − 3t)(m + 3t)(m^2 + 9t^2). Примеры для наглядности: - Пример 1 (общий случай): m = 5, n = 2. m^4 − 81n^2 = 625 − 324 = 301. Факторизация: (m^2 − 9n)(m^2 + 9n) = (25 − 18)(25 + 18) = 7 · 43 = 301. - Пример 2 (n является квадратом): m = 7, n = 4 (тогда t = 2). m^4 − 81n^2 = 2401 − 1296 = 1105. Факторизация: (m − 3t)(m + 3t)(m^2 + 9t^2) = (7 − 6)(7 + 6)(49 + 36) = 1 · 13 · 85 = 1105. - Пример 3 (целостность проверки): m = 3, n = 1. m^4 − 81n^2 = 81 − 81 = 0. Факторизация: (m^2 − 9n)(m^2 + 9n) = (9 − 9)(9 + 9) = 0. Если нужно, могу привести дополнительные примеры или показать решение в стиле конкретного класса.