Реши уравнение : x²-8|x|-9=0
Разберём решение шаг за шагом (урок 8-й класс, алгебра).
Задача: x^2 − 8|x| − 9 = 0
Введём замену: т = |x|. Поскольку |x| ≥ 0, то т ≥ 0, и x^2 = (|x|)^2 = t^2. Уравнение становится: t^2 − 8t − 9 = 0.
Решим квадратное уравнение относительно t. Дискриминант D = (−8)^2 − 4·1·(−9) = 64 + 36 = 100. Корни: t = (8 ± √100)/2 = (8 ± 10)/2. Получаем t1 = 9 и t2 = −1.
Учитываем условие t ≥ 0. Подходящий корень: t = 9.
Вернёмся к x: |x| = 9, значит x = 9 или x = −9.
Проверка (простой контроль): подставим в исходное, для x = 9: 9^2 − 8|9| − 9 = 81 − 72 − 9 = 0; для x = −9: (−9)^2 − 8|−9| − 9 = 81 − 72 − 9 = 0. Оба значения подходят.
Ответ: x = 9 и x = −9.
( Альтернативный подход: разложить по знаку x
- если x ≥ 0: x^2 − 8x − 9 = 0 → корни x = 9 и x = −1; из них допустим только x = 9;
- если x < 0: x^2 + 8x − 9 = 0 → корни x = 1 и x = −9; из них допустим только x = −9. Итог тот же: x = 9, −9.)
Обсуждение
2 сообщенияЧерез дискриминант правильно?
Да, давайте решим уравнение \(x^2 - 8|x| - 9 = 0\) через дискриминант.
- Сначала нужно учесть, что модуль \( |x| \) может принимать два значения: \( x \) когда \( x \geq 0 \) и \( -x \) когда \( x < 0 \).
Случай 1: \( x \geq 0 \)
В этом случае уравнение принимает вид: \[ x^2 - 8x - 9 = 0 \]
Находим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 \]
Теперь находим корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 10}{2} \]
Корни: \[ x_1 = \frac{18}{2} = 9, \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \]
Поскольку рассматриваем случай \( x \geq 0\), то здесь мы получаем \( x_1 = 9\).
Случай 2: \( x < 0 \)
В этом случае уравнение принимает вид: \[ x^2 + 8x - 9 = 0 \]
Находим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 \]
Теперь находим корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 10}{2} \]
Корни: \[ x_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-18}{2} = -9 \]
Поскольку рассматриваем случай \( x < 0 \), то здесь мы получаем \( x_2 = -9\).
Итог
Таким образом, решения уравнения \(x^2 - 8|x| - 9 = 0\) это: \[ x = 9 \quad \text{и} \quad x = -9 \]
