отрезки а б. и с д. диаметр окружности докажите, что. хорды д и с равны.
Задача: на окружности с центром O даны две диаметра AB и CD. Докажите, что хорды AD и BC равны.
Решение (пошагово и понятно):
Пусть OA, OB, OC, OD — радиусы к точкам A, B, C, D соответственно. Так как AB — диаметр, OA и OB противоположны; аналогично OC и OD противоположны, потому ∠AOB = 180° и ∠COD = 180°.
Рассмотрим центральные углы, соответствующие хордам AD и BC:
- угол ∠AOD — центральный угол, равный углу, под которым видна хорда AD;
- угол ∠BOC — центральный угол, равный углу, под которым видна хорда BC.
Говорят, что если две прямые поменять местами на 180°, угол между ними не изменится. Так как OA противоположна OB, а OD противоположна OC, угол между OA и OD равен углу между OB и OC: ∠AOD = ∠BOC.
В окружности хорда пропорциональна синусу половины соответствующего центрального угла: длина AD = 2R sin(∠AOD/2), BC = 2R sin(∠BOC/2). Поскольку ∠AOD = ∠BOC, получаем AD = BC.
Итого хорды AD и BC равны.
Дополнительное соображение (вариант доказательства через треугольники): так же можно заметить, что треугольники AOD и BOC имеют:
- OA = OB = OC = OD = R (радиусы);
- ∠AOD = ∠BOC (как выше); откуда по SAS эти треугольники равны, следовательно их стороны AD и BC равны.
