Z^-4 = 7-12i комплексное

Задача: z^-4 = 7 - 12i (комплексное число) Цель по умолчанию — понять подробно, поэтому дам пошаговое решение. 1) Приводим к обычному виду Так как z ≠ 0 (иначе z^-4 не определён), можно взять обратное обеих частей: z^4 = 1 / (7 - 12i). Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателя: 1 / (7 - 12i) = (7 + 12i) / (7^2 + 12^2) = (7 + 12i) / 193. Итого: z^4 = (7 + 12i) / 193. 2) Представляем правую часть в тригонометрической форме Пусть w = 7 + 12i. Тогда - модуль |w| = sqrt(7^2 + 12^2) = sqrt(193), - аргумент Arg(w) = arctan(12/7) ≈ 1.046 rad (примерно ≈ 60°). Так как (7 + 12i)/193 = (|w|/193) cis(Arg(w)) = (1/√193) cis(φ), где φ = arctan(12/7). Значит z^4 имеет модуль |z^4| = 1/√193 и аргумент φ. 3) Берём четвертые корни Четвертые корни комплексного числа в полярной форме дают: z_k = (1/√193)^(1/4) cis((φ + 2πk)/4), для k = 0,1,2,3. Упрощаем: - модуль z: |z| = (1/√193)^(1/4) = 193^(-1/8) ≈ 0.518, - аргументы: α_k = (φ + 2πk)/4, где φ = arctan(12/7) ≈ 1.046 rad. Итого четыре корня: z_k = 193^(-1/8) [cos((φ + 2πk)/4) + i sin((φ + 2πk)/4)], k = 0,1,2,3. 4) Приближённые значения Учитывая φ ≈ 1.046 rad и 193^(-1/8) ≈ 0.518, получаем около: - z0 ≈ 0.518 (cos 14.98° + i sin 14.98°) ≈ 0.500 + 0.134 i, - z1 ≈ 0.518 (cos 104.98° + i sin 104.98°) ≈ -0.134 + 0.501 i, - z2 ≈ 0.518 (cos 194.98° + i sin 194.98°) ≈ -0.500 - 0.134 i, - z3 ≈ 0.518 (cos 284.98° + i sin 284.98°) ≈ 0.134 - 0.501 i. Итого, решение состоит из четырёх комплексных корней, равных: z_k = 193^(-1/8) cis((arctan(12/7) + 2πk)/4), k = 0,1,2,3, а в десятичном виде примерно: - 0.500 + 0.134 i - -0.134 + 0.501 i - -0.500 - 0.134 i - 0.134 - 0.501 i Если нужно, могу показать проверку каждого корня: подставить z_k в z^4 и убедиться, что получится (7 + 12i)/193.