z^-4 = 7-12i комплексное

Задача: z^-4 = 7 - 12i (комплексное число)

Цель по умолчанию — понять подробно, поэтому дам пошаговое решение.

1. Приводим к обычному виду Так как z ≠ 0 (иначе z^-4 не определён), можно взять обратное обеих частей: z^4 = 1 / (7 - 12i).

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателя: 1 / (7 - 12i) = (7 + 12i) / (7^2 + 12^2) = (7 + 12i) / 193.

Итого: z^4 = (7 + 12i) / 193.

2. Представляем правую часть в тригонометрической форме Пусть w = 7 + 12i. Тогда

• модуль |w| = sqrt(7^2 + 12^2) = sqrt(193),
• аргумент Arg(w) = arctan(12/7) ≈ 1.046 rad (примерно ≈ 60°).

Так как (7 + 12i)/193 = (|w|/193) cis(Arg(w)) = (1/√193) cis(φ), где φ = arctan(12/7).

Значит z^4 имеет модуль |z^4| = 1/√193 и аргумент φ.

3. Берём четвертые корни Четвертые корни комплексного числа в полярной форме дают: z_k = (1/√193)^(1/4) cis((φ + 2πk)/4), для k = 0,1,2,3.

Упрощаем:

• модуль z: |z| = (1/√193)^(1/4) = 193^(-1/8) ≈ 0.518,
• аргументы: α_k = (φ + 2πk)/4, где φ = arctan(12/7) ≈ 1.046 rad.

Итого четыре корня: z_k = 193^(-1/8) [cos((φ + 2πk)/4) + i sin((φ + 2πk)/4)], k = 0,1,2,3.

4. Приближённые значения Учитывая φ ≈ 1.046 rad и 193^(-1/8) ≈ 0.518, получаем около:

• z0 ≈ 0.518 (cos 14.98° + i sin 14.98°) ≈ 0.500 + 0.134 i,
• z1 ≈ 0.518 (cos 104.98° + i sin 104.98°) ≈ -0.134 + 0.501 i,
• z2 ≈ 0.518 (cos 194.98° + i sin 194.98°) ≈ -0.500 - 0.134 i,
• z3 ≈ 0.518 (cos 284.98° + i sin 284.98°) ≈ 0.134 - 0.501 i.

Итого, решение состоит из четырёх комплексных корней, равных: z_k = 193^(-1/8) cis((arctan(12/7) + 2πk)/4), k = 0,1,2,3, а в десятичном виде примерно:

• 0.500 + 0.134 i
• -0.134 + 0.501 i
• -0.500 - 0.134 i
• 0.134 - 0.501 i

Если нужно, могу показать проверку каждого корня: подставить z_k в z^4 и убедиться, что получится (7 + 12i)/193.