(x-3)(x-1)(x-5)(x-7)=-16

Задача: (x-3)(x-1)(x-5)(x-7) = -16

Решение (пошагово):

1. Воспользуемся симметрией вокруг x = 4. Пусть t = x - 4. Тогда:

   • x - 3 = t + 1
   • x - 1 = t + 3
   • x - 5 = t - 1
   • x - 7 = t - 3

2. Перепишем левую часть: (t+1)(t-1)(t+3)(t-3) = (t^2 - 1)(t^2 - 9) = t^4 - 10t^2 + 9

   Таким образом уравнение становится: t^4 - 10t^2 + 9 = -16

3. Переместим все в одну сторону: t^4 - 10t^2 + 9 + 16 = 0 → t^4 - 10t^2 + 25 = 0

4. Обозначим u = t^2 (u ≥ 0). Тогда получаем квадратное уравнение: u^2 - 10u + 25 = 0 → (u - 5)^2 = 0 → u = 5

5. Тогда t^2 = 5, значит t = ±√5, и обратно x = t + 4: x = 4 + √5 или x = 4 - √5

Итого, решения: x = 4 ± √5 (каждое с кратностью 2 в исходном квадратном уравнении).