Из точки к плоскости а проведены две наклонные. Найдите расстояние от данной точки дс плоскости, если угол между данными наклонными равен 60°, а их проекции равны по З см каждая и…
Из точки к плоскости а проведены две наклонные. Найдите расстояние от данной точки дс плоскости, если угол между данными наклонными равен 60°, а их проекции равны по З см каждая и взаимно перпендикулярны
Задача: Из точки P к плоскости a проведены две наклонные PA и PB. Их проекции на плоскость имеют одинаковую длину Z см и взаимно перпендикулярны; угол между наклонными PA и PB равен 60°. Найдите расстояние d от точки P до плоскости a.
Пояснение и решение:
Обозначим точку пересечения плоскости a точками A и B, так чтобы PA и PB образовывали угол 60°. Проекции обоих отрезков PA и PB на плоскость a имеют длину Z и взаимно перпендикулярны. Пусть H — проекция точки P на плоскость a. Тогда HA и HB — это проекции PA и PB на плоскость, и длины HA = HB = Z, а в плоскости HA ⟂ HB.
Выберем систему координат так, чтобы плоскость a лежала в плоскости z = 0, точка H была в начале координат (0,0,0), OA проекции вдоль оси x, OB — вдоль оси y. Тогда:
- A = (Z, 0, 0), B = (0, Z, 0),
- P = (0, 0, d), где d — расстояние от P до плоскости (то, что нужно найти).
Векторы наклонных:
- PA = A − P = (Z, 0, −d),
- PB = B − P = (0, Z, −d).
Угол между векторами PA и PB равен 60°. По скалярному произведению: cos(∠APB) = (PA · PB) / (|PA||PB|).
Вычислим: PA · PB = Z·0 + 0·Z + (−d)(−d) = d^2, |PA| = |PB| = sqrt(Z^2 + d^2).
Значит, cos(60°) = d^2 / (Z^2 + d^2) = 1/2.
Решение: 2d^2 = Z^2 + d^2 ⇒ d^2 = Z^2 ⇒ d = Z (дистанция положительна).
Ответ: расстояние от точки до плоскости равно Z см.
