пусть a1, b1, c1 и d1 – середины сторон cd, da, ab, bc квадрата abcd, площадь которого равна s. найдите площадь четырёхугольника, образованного прямыми aa1, bb1, cc1 и dd1.

Решение

Зададим квадрат abcd со стороной a и площадью s = a^2. Расположим координаты: A(0,0), B(a,0), C(a,a), D(0,a).

Средины сторон: a1 — середина CD: a1(a/2, a), b1 — середина DA: b1(0, a/2), c1 — середина AB: c1(a/2, 0), d1 — середина BC: d1(a, a/2).

Уравнения прямых aa1, bb1, cc1, dd1:

• aa1 проходит через A(0,0) и a1(a/2, a): наклон m = a / (a/2) = 2, следовательно, aa1: y = 2x.
• bb1 проходит через B(a,0) и b1(0,a/2): наклон m = (a/2 - 0) / (0 - a) = -1/2, следовательно, bb1: y = -1/2 x + a/2.
• cc1 проходит через C(a,a) и c1(a/2,0): наклон m = (0 - a) / (a/2 - a) = 2, следовательно, cc1: y = 2x - a.
• dd1 проходит через D(0,a) и d1(a, a/2): наклон m = (a/2 - a) / (a - 0) = -1/2, следовательно, dd1: y = a - x/2.

Точки пересечения соседних прямых образуют искомый четырехугольник:

• L1 ∩ L2: y = 2x и y = -1/2 x + a/2 дают x = a/5, y = 2a/5 → P1 = (a/5, 2a/5).
• L2 ∩ L3: y = -1/2 x + a/2 и y = 2x - a дают x = 3a/5, y = a/5 → P2 = (3a/5, a/5).
• L3 ∩ L4: y = 2x - a и y = a - x/2 дают x = 4a/5, y = 3a/5 → P3 = (4a/5, 3a/5).
• L4 ∩ L1: y = a - x/2 и y = 2x дают x = 2a/5, y = 4a/5 → P4 = (2a/5, 4a/5).

Получившиеся вершины образуют квадрат (центр светающих линий совпадает с центром большого квадрата). Длины соседних сторон: длина P1P2: sqrt[(3a/5 − a/5)^2 + (a/5 − 2a/5)^2] = sqrt[(2a/5)^2 + (−a/5)^2] = (a/5)√5. Все остальные стороны равны той же величине, следовательно, четырехугольник — квадрат.

Площадь внутреннего квадрата: S = (длина стороны)^2 = [(a/5)√5]^2 = a^2/5 = s/5.

Ответ: площадь образовавшегося четырехугольника равна s/5.