Y=x²

Задача: Y = x²

Это базовая квадратичная функция. Ниже — подробное разбор и шаги, чтобы понять и увидеть, что это за функция.

1. Что означает Y = x²

• Это зависимость y от x: каждое значение x даёт квадрат этого значения.
• Функция называется параболой: график — парабола, которая открывается вверх.
• Вершина графика — минимальная точка, у параболы y = x² она в точке (0, 0).

2. Примеры значений (таблица по выбранным x)

• x = -3 → y = 9
• x = -2 → y = 4
• x = -1 → y = 1
• x = 0 → y = 0
• x = 1 → y = 1
• x = 2 → y = 4
• x = 3 → y = 9 Т.е. значения симметричны относительно оси y (поскольку x и -x дают одинаковый y).

3. График и как его нарисовать

• Вершина: (0, 0).
• Ось симметрии: вертикальная прямая x = 0 (ось Y).
• График открывается вверх и имеет форму улыбки.
• График проходит через точки (0,0), (1,1), (-1,1), (2,4), (-2,4), и т.д.
• Действия: начертите ось координат, отметьте указанные точки и соедините их плавной дугой, получив параболу.

4. Свойства функции y = x²

• Область определения (домен): все вещественные числа R.
• Область значений (периметр/множество y): y ≥ 0, то есть [0, +∞).
• Монотонность: на промежутке (-∞, 0] функция убывает (по мере движения вправо она опускается до минимума), на [0, +∞) возрастает.
• Производная: dy/dx = 2x. При x < 0 производная отрицательна, при x > 0 — положительна, в точке x = 0 производная равна 0 (точка минимума).
• Вершина параболы: (0, 0) — минимальная точка.
• Структура графика: парабола имеет симметрию относительно оси Y; форма параболы задаётся коэффициентом при x². Здесь коэффициент 1 (y = 1·x²).

5. Как это выглядит в виде формулы и преобразований

• Базовая форма: y = x² (чистая парабола).
• Если представить в виде вершинной формы: y = (x − h)² + k. Для y = x² h = 0, k = 0, поэтому вершина во (0,0).
• Пример преобразования: y = (x − 3)² + 2 — парабола, сдвинутая вправо на 3 и вверх на 2, вершина в (3, 2).

6. Быстрые практические проверки

• Найдите y при заданном x: например, при x = 5, y = 25.
• Найдите пересечение с осями: с осью Y пересечения нет отдельно, кроме точки (0,0); с осью X единственная точка пересечения — x = 0 (потому что y = 0 только при x = 0).

Если хочешь, могу привести ещё примеры с графиком в виде текстового наброска или помочь построить таблицу значений для другой выборки x, чтобы закрепить понятие.