Отрезки AB и CD-диаметры окружности. Докажите свойства хорд:а)хорды BD и АС равны;б)хорды AD и ВС равны;в) уголBAD= уголBCD.

Пусть O — центр окружности. Так как AB и CD — диаметры, точки A, B, C, D лежат на окружности и OA = OB = OC = OD = R, а пары лучей OA и OB, OC и OD противоположны.

Задача: доказываем а) BD = AC; б) AD = BC; в) ∠BAD = ∠BCD.

а) Хорды BD и AC равны

• Центральный угол, соответствующий хорде AC, — это ∠AOC.
• Центральный угол, соответствующий хорде BD, — это ∠BOD.
• Так как OA противобежна OB, а OC против OD, угол между OA и OC равен углу между OB и OD. Следовательно ∠AOC = ∠BOD.
• Тогда хорды AC и BD равны (в циркуле равные центральные углы соответствуют равным хордам).

Дополнительно можно увидеть симметрию: поворот на 180° вокруг O отправляет A в B, C в D, следовательно хорды AC и BD совпадают по длине.

б) Хорды AD и BC равны

• Центральный угол, соответствующий хорде AD, — ∠AOD.
• Центральный угол, соответствующий хорде BC, — ∠BOC.
• Аналогично предыдущему: ∠AOD = ∠BOC, потому что OA против OB и OD против OC.
• Следовательно AD = BC.

в) ∠BAD = ∠BCD

• Это две вписанные угла, каждый из которых опирается на дугу BD: угол BAD опирается на дугу BD, угол BCD тоже опирается на дугу BD.
• В окружности любые два вписанных угла, которые субтенд единую дугу, равны между собой.
• Значит ∠BAD = ∠BCD.

Итого: а) BD = AC; б) AD = BC; в) ∠BAD = ∠BCD.