Етырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке К, причем ВК = DK = AD. На отрезке СК отметили такую точку М, что АК = СМ. Докажите, что DM = ВС.

Решение с использованием координат. 1) Расстановка координат - Пусть диагональ BD лежит на оси x, и K – её середина. Обозначим BK = DK = b, тогда B = (-b, 0), D = (b, 0), и K = (0, 0). - Пусть диагональ AC идёт через K под углом θ к оси x. Пусть AK = s и CK = t (s > 0, t > 0). Тогда точки A и C лежат на одной прямой через K, к которой вектор направления можно взять u = (cos θ, sin θ). Следовательно: A = s u = (s cos θ, s sin θ), C = -t u = (-t cos θ, -t sin θ). 2) Расположение точки M Из условия AK = CM и того, что M лежит на CK, получаем, что CM = s и M находится на отрезке CK ближе к K. Поскольку C = -t u, K = 0, то M = C + (s/t)(K - C) = -t u + (s/t)(t u) = (s - t) u = ((s - t) cos θ, (s - t) sin θ). 3) Использование условия AD = BK AD = BK = b. Вычислим AD через координаты A и D: |A − D|^2 = (s cos θ − b)^2 + (s sin θ)^2 = s^2 − 2 b s cos θ + b^2. Так как AD^2 = b^2, получаем s^2 − 2 b s cos θ + b^2 = b^2, откуда s^2 − 2 b s cos θ = 0 → s(s − 2 b cos θ) = 0. Так как s ≠ 0, имеем s = 2 b cos θ. 4) Вычисление DM^2 и BC^2 - DM^2: DM^2 = |M − D|^2 = ((s − t) cos θ − b)^2 + ((s − t) sin θ)^2 = (s − t)^2 − 2 b (s − t) cos θ + b^2. - BC^2: BC^2 = |C − B|^2 = ((-t cos θ) − (−b))^2 + ((-t sin θ) − 0)^2 = (b − t cos θ)^2 + (t sin θ)^2 = t^2 − 2 b t cos θ + b^2. 5) Соотношение DM^2 и BC^2 Подставим s = 2 b cos θ в выражение для DM^2 − BC^2: DM^2 − BC^2 = [(s − t)^2 − 2 b (s − t) cos θ + b^2] − [t^2 − 2 b t cos θ + b^2] = (s − t)^2 − t^2 − 2 b (s − t) cos θ + 2 b t cos θ = (s^2 − 2 s t) − 2 b s cos θ + 4 b t cos θ. Теперь при s = 2 b cos θ имеем: s^2 = 4 b^2 cos^2 θ, − 2 s t = − 4 b t cos θ, − 2 b s cos θ = − 4 b^2 cos^2 θ, и + 4 b t cos θ остаются. Сумма равна 0, следовательно DM^2 = BC^2, а значит DM = BC (положительные длины). 6) Вывод При заданных условиях DM равно BC. Доказательство следует из координатного разложения: K – начало координат, BD вдоль оси x, AC по направлению u = (cos θ, sin θ), с параметрами AK = s = 2 b cos θ и CM = AK = s, что позволяет получить равенство DM = BC.