Упражнение 1 В урне 6 белых и 5 черных шара. Из урны 7 раз наугад извлекают один шар с возвращением. Какова вероятность, что белый шар вынут ровно 5 раз? Упражнение 2 Монету…

Ни предмет, ни класс не указаны, поэтому дам понятные пошаговые решения в духе средней школы.

Упражнение 1 Урна: 6 белых, 5 черных (итого 11 шаров). Из урны 7 раз с возвращением вытаскивают шар.

Цель: найти вероятность, что белый выпадет ровно 5 раз.

1. Определяем вероятность успеха в одном испытании.

• Вероятность белого = p = 6/11.

2. Это биномиальное распределение n = 7, k = 5.

• Формула: P(k=5) = C(7,5) p^5 (1-p)^(7-5).

3. Подстановка:

• C(7,5) = 21.
• p^5 = (6/11)^5, (1-p)^2 = (5/11)^2.
• P = 21 * (6/11)^5 * (5/11)^2 = 21 * 6^5 * 5^2 / 11^7.

4. Численно:

• 6^5 = 7776, 5^2 = 25, 21 * 7776 * 25 = 4 082 400.
• 11^7 = 19 487 171.
• P ≈ 4 082 400 / 19 487 171 ≈ 0.210. Ответ: приблизительно 0.210 (или 4 082 400 / 19 487 171 в точном виде).

Упражнение 2 Монету подбрасывают 8 раз. Вероятность, что орел выпадет ровно 4 раза.

1. Пусть успех = выпадение орла, p = 1/2, n = 8, k = 4.
2. P(k=4) = C(8,4) (1/2)^8.
3. C(8,4) = 70. (1/2)^8 = 1/256.
4. P = 70 / 256 = 35 / 128 ≈ 0.2734.

Ответ: 35/128 ≈ 0.2734.

Упражнение 3 Тест из 5 вопросов, каждый с 4 вариантами, угадать ровно 2.

1. Успех по вопросу: вероятность угадать правильно = p = 1/4. Неправильно = q = 3/4. n = 5, k = 2.
2. P(k=2) = C(5,2) p^2 q^3.
3. C(5,2) = 10. p^2 = (1/4)^2 = 1/16. q^3 = (3/4)^3 = 27/64.
4. P = 10 * (1/16) * (27/64) = 270 / 1024 = 135 / 512 ≈ 0.2637.

Ответ: 135/512 ≈ 0.2637.

Упражнение 4 Кубик подбрасывают 4 раза. Найдите вероятность, что ровно 3 раза выпадет «шестёрка».

1. Успех = выпадение 6, p = 1/6. Непр-ость = 5/6. n = 4, k = 3.
2. P(k=3) = C(4,3) (1/6)^3 (5/6)^1.
3. C(4,3) = 4. Вычисление: 4 * (1/216) * (5/6) = 20 / 1296 = 5 / 324.
4. Численно ≈ 0.01543.

Ответ: 5/324 ≈ 0.01543.

Упражнение 5 В партии из 12 изделий вероятность того, что изделие окажется стандартным, равна 0,8. Какова вероятность, что среди случайно выбранных 8 изделий ровно 7 окажутся стандартными?

Здесь есть нюанс: формулировка явно намекает на долю стандартных изделий в партии, но не дано точно, сколько из 12 изделий действительно стандартны. Это влияет на выбор модели. Рассмотрим две разумные версии.

Версия А (используем биномиальное распределение, если выбираем с заменой или если партия достаточно большая и непрерывная по вероятности):

• Успех = изделие стандартное, p = 0.8. n = 8, k = 7.
• P = C(8,7) p^7 (1-p) = 8 * (0.8)^7 * 0.2.
• (0.8)^7 = 0.2097152. Умножаем на 0.2: 0.04194304. Умножаем на 8: 0.33554432. Ответ ≈ 0.3355.

Версия Б (гипергеометрическая, без повторной выборки, если в партии точно известно число стандартных изделий K в N=12):

• Если в партии 12 изделий было K стандартных, то выбираем 8 без повторений.
• Вероятность ровно 7 стандартных: P = [C(K,7) C(12-K,1)] / C(12,8), где должно быть K ≥ 7 и 12-K ≥ 1.
• Например:
  • при K = 10: P = C(10,7) C(2,1) / C(12,8) = 120 * 2 / 495 = 240/495 ≈ 0.4848.
  • при K = 9: P = C(9,7) C(3,1) / C(12,8) = 36 * 3 / 495 = 108/495 ≈ 0.218.
• Но без точного K ответ по гипергеометрическому правилу неопределён.

Комментарий по выбору модели:

• Если выборка происходит с заменой или доля стандартных изделий в популяции можно рассматривать как вероятность 0.8 для каждого изделия независимо, удобнее и обычно ожидаемо использовать биномиальное распределение (Версия А).
• Если же речь идёт о конкретной партии без замены и известно ровно K стандартных в 12, следует использовать гипергеометрическую модель (Версия Б). В задаче так и не дано значение K, поэтому точный гипергеометрический ответ не может быть получен без доп. данных.

Итого по Упражнению 5: при стандартной школьной трактовке без уточнения условий чаще всего используют биномиальное решение: P ≈ 0.3355.

Итоговые ответы (кратко)

1. ≈ 0.210 (точно 4 082 400 / 19 487 171)
2. 35/128 ≈ 0.2734
3. 135/512 ≈ 0.2637
4. 5/324 ≈ 0.01543
5. При наличии условий равных независимых испытаний: ≈ 0.3355; при гипергеометрии без точного K в партии — зависит от K (пример: при K=10 даёт ≈ 0.4848, при K=9 ≈ 0.218).