2. У Толи есть конфеты: 7 апельсиновых, 9 клубничных, 5 лимонных и 9 вишнёвых. Толя хочет разложить все конфеты в несколько пакетиков так, чтобы ни в одном пакетике не было двух одинаковых конфет и чтобы во всех пакетиках конфет было одинаковое количество. Какое самое маленькое количество пакетиков сможет собрать Толя?

Задача: 7 апельсиновых, 9 клубничных, 5 лимонных и 9 вишнёвых конфет. Нужно разложить все конфеты в несколько пакетиков так, чтобы в одном пакетике не было двух одинаковых конфет и чтобы во всех пакетиках конфет было одинаковое количество. Найти минимальное число пакетиков. Пошаговое решение: 1) Общее число конфет - Всего: 7 + 9 + 5 + 9 = 30 конфет. 2) Ограничения по количеству конфет в пакетике - В пакетике не может быть двух конфет одного вкуса, значит максимум конфет в пакетике равно числу вкусов, то есть 4. - Следовательно, число пакетиков k должно удовлетворять 30 / k ≤ 4, то есть k ≥ 30/4 = 7.5. Поэтому минимальное возможное k ≥ 8. - Также k должно делиться на 30, чтобы во всех пакетиках было одно и то же количество конфет. Возможные делители 30 ≥ 8: 10, 15, 30. 3) Ограничение по количеству конфет каждого вкуса - В каждом пакетике может быть не более одной конфеты данного вкуса, значит для любого вкуса нужно, чтобы его общее число не превышало число пакетиков: k ≥ max(7, 9, 5, 9) = 9. - Из наших кандидатов k = 10, 15, 30 подходят (они ≥ 9). 4) Проверка минимальности и feasibility для k = 10 - При k = 10 общее число конфет на пакетик должно быть s = 30 / 10 = 3. То есть каждый пакетик содержит ровно 3 конфеты разных вкусов. - Так как у нас 4 вкуса, каждый пакетик фактически « содержит все вкусы, кроме одного» — он пропускает один вкус. - Пусть m_i — число пакетиков, в которых отсутствует вкус i. Тогда сумма m_i по всем вкусам равна 10 (всего пакетиков), а количество конфет вкуса i равно c_i = k − m_i. Для вкусов: - апельсин: c = 7 → m_апельсина = 10 − 7 = 3 - клубника: c = 9 → m_клубники = 10 − 9 = 1 - лимон: c = 5 → m_лимона = 10 − 5 = 5 - вишня: c = 9 → m_вишни = 10 − 9 = 1 Сумма m_i = 3 + 1 + 5 + 1 = 10, что равно числу пакетиков, и все m_i неотрицательны. Значит такая раскладка реальна. 5) Конструкция (пример) - 3 пакетика пропускают апельсин: содержат клубника, лимон, вишня. - 1 пакетик пропускает клубнику: содержит апельсин, лимон, вишня. - 5 пакетиков пропускают лимон: содержат апельсин, клубника, вишня. - 1 пакетик пропускает вишню: содержит апельсин, клубника, лимон. Проверка подсчётов по вкусам: - Апельсин встречается в 7 пакетиках. - Клубника — в 9 пакетиках. - Лимон — в 5 пакетиках. - Вишня — в 9 пакетиках. Каждый пакетик содержит 3 разных вкуса, и все конфеты использованы. 6) Вывод - Минимальное число пакетиков равно 10. Нельзя сделать меньшее число, потому что k должно быть делителем 30 и одновременно ≥ 9 (из условия по количеству конфет каждого вкуса), а ближайшее делимое к этому — 10. Ответ: 10 пакетиков.