Решите уравнение 3log27(x) + 6logx(3) = 5

Задача: решить уравнение 3 log_{27}(x) + 6 log_{x}(3) = 5.

Порядок действий:

1. Обозначим y = log_3(x). По формуле перехода баз логарифмов:

• log_{27}(x) = log_3(x) / log_3(27) = y / 3 (поскольку log_3(27) = log_3(3^3) = 3).
• log_{x}(3) = 1 / log_3(x) = 1 / y.

Тогда уравнение принимает вид: 3*(y/3) + 6*(1/y) = 5 y + 6/y = 5.

2. Решим полученное рациональное уравнение: y + 6/y = 5 Умножим на y: y^2 - 5y + 6 = 0 (y - 2)(y - 3) = 0

Отсюда y = 2 или y = 3.

3. Вернемся к x: y = log_3(x) значит

• если y = 2, то log_3(x) = 2 → x = 3^2 = 9;
• если y = 3, то log_3(x) = 3 → x = 3^3 = 27.

Проверка диверсий: домен логарифмов требует x > 0 и x ≠ 1; оба значения 9 и 27 удовлетворяют.

Ответ: x ∈ {9, 27}.