Реши уравнение 3cosx+sinx=3

Задача: решить уравнение 3 cos x + sin x = 3. Пояснение по шагам 1) Максимум линейной комбинации cos и sin - Любая линейная комбинация A cos x + B sin x может быть записана как R cos(x − φ), где R = sqrt(A^2 + B^2). - Здесь A = 3, B = 1, поэтому R = sqrt(3^2 + 1^2) = sqrt(10) ≈ 3.162. 2) Найдём φ - Нужно подобрать φ such, чтобы 3 cos x + sin x = R cos(x − φ) = R cos x cos φ + R sin x sin φ. - Сравнивая коэффициенты: - R cos φ = 3 - R sin φ = 1 - Отсюда cos φ = 3/√10 и sin φ = 1/√10. Можно взять φ = arctan(1/3) (первый квадрант). 3) Приведём уравнение к простому виду - Получаем: √10 cos(x − φ) = 3. - Следовательно cos(x − φ) = 3/√10. 4) Раскроем решение cos(y) = cos φ - Так как cos φ = 3/√10, то cos(x − φ) = cos φ. - Решения: x − φ = ± φ + 2πk, где k ∈ Z. - Два случая: - case 1: x − φ = φ + 2πk ⇒ x = 2φ + 2πk - case 2: x − φ = −φ + 2πk ⇒ x = 0 + 2πk = 2πk 5) Запишем итоговые решения - φ = arctan(1/3). - Общий вид решений: x = 2πk или x = 2φ + 2πk, где k ∈ Z. - Можно дать численно: - φ ≈ 0.32175055 рад - 2φ ≈ 0.64350111 рад - Значит: x ≈ 0 + 2πk или x ≈ 0.64350111 + 2πk, где k — целое. 6) Проверка - Если x = 0: 3 cos 0 + sin 0 = 3·1 + 0 = 3 ✓. - Если x = 2φ: cos(2φ) = 4/5, sin(2φ) = 3/5, тогда 3 cos(2φ) + sin(2φ) = 3·(4/5) + 3/5 = 12/5 + 3/5 = 15/5 = 3 ✓. Ответ - x = 2πk, или x = 2 arctan(1/3) + 2πk, где k ∈ Z. - В промежутке [0, 2π) решения: x = 0 и x ≈ 0.6435 rad (≈ 36.87°).