5.38. Горнер схемасын қолданып, төмендегі көпмүшелерді x + 1 екі-мүшесіне бөлгендегі қалдық пен бөліндіні анықтаңдар: 1) x ^ 6 + 9x ^ 3 + 32x + 16 3) x ^ 5 - 7x - 6 2) 14x - 4 + 27x ^ 4 - 9x ^ 7 4) x ^ 4 + 19x ^ 2 - 30

Жақсы. Горнер схемасын (synthetic division) қолдана отырып, әр полиномды x + 1-ге бөлгендегі қалдық пен бөліндіді есептейік. Делитель x + 1-ге қатысты қалдық P(-1) болады. Горнер парақшасында әр қадам үшін коэффициенттерді -1-ге көбейтіп, қосып отырамыз. Нәтиже: P(x) = (x + 1)·Q(x) + R, мұнда Q(x) — бөлінді, R — қалдық. 1) P(x) = x^6 + 9x^3 + 32x + 16 - Көпмүшелікті стандарт кестеге келтіреміз: x^6 + 0x^5 + 0x^4 + 9x^3 + 0x^2 + 32x + 16 - Коэффициеттер: [1, 0, 0, 9, 0, 32, 16] - Горнер бойынша есептеу: - Қалдыққа бастапқы мән: 1 - 0 + (-1)*1 = -1 - 0 + (-1)*(-1) = 1 - 9 + (-1)*1 = 8 - 0 + (-1)*8 = -8 - 32 + (-1)*(-8) = 40 - 16 + (-1)*40 = -24 - Нәтиже: - Бөлінді Q(x) = x^5 - x^4 + x^3 + 8x^2 - 8x + 40 - Қалдық R = -24 - Қысқаша тексеру: P(-1) = (-1)^6 + 9(-1)^3 + 32(-1) + 16 = 1 - 9 - 32 + 16 = -24, бұл қалдыққа сәйкес. 2) P(x) = x^5 - 7x - 6 - Стандарт түрі: x^5 + 0x^4 + 0x^3 + 0x^2 - 7x - 6 - Коэффициеттер: [1, 0, 0, 0, -7, -6] - Горнер: - Қалдыққа бастау: 1 - 0 + (-1)*1 = -1 - 0 + (-1)*(-1) = 1 - 0 + (-1)*1 = -1 - -7 + (-1)*(-1) = -6 - -6 + (-1)*(-6) = 0 - Нәтиже: - Бөлінді Q(x) = x^4 - x^3 + x^2 - x - 6 - Қалдық R = 0 - Бұл кері бөлінетіндігін растайды, P(-1) = 0. 3) P(x) = 14x - 4 + 27x^4 - 9x^7 - Стандарт түрі: -9x^7 + 0x^6 + 0x^5 + 27x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 14x - 4 - Коэффициеттер: [-9, 0, 0, 27, 0, 0, 14, -4] - Горнер (root = -1): - Қалдыққа бастапқы: -9 - 0 + (-1)*(-9) = 9 - 0 + (-1)*9 = -9 - 27 + (-1)*(-9) = 36 - 0 + (-1)*36 = -36 - 0 + (-1)*(-36) = 36 - 14 + (-1)*36 = -22 - -4 + (-1)*(-22) = 18 - Нәтиже: - Бөлінді Q(x) = -9x^6 + 9x^5 - 9x^4 + 36x^3 - 36x^2 + 36x - 22 - Қалдық R = 18 - Қысқаша тексеру: P(-1) = -9(-1)^7 + 27(-1)^4 + 14(-1) - 4 = 9 + 27 - 14 - 4 = 18. 4) P(x) = x^4 + 19x^2 - 30 - Стандарт түрі: x^4 + 0x^3 + 19x^2 + 0x - 30 - Коэффициеттер: [1, 0, 19, 0, -30] - Горнер: - Қалдыққа бастапқы: 1 - 0 + (-1)*1 = -1 - 19 + (-1)*(-1) = 20 - 0 + (-1)*20 = -20 - -30 + (-1)*(-20) = -10 - Нәтиже: - Бөлінді Q(x) = x^3 - x^2 + 20x - 20 - Қалдық R = -10 - Қысқаша тексеру: P(-1) = 1 + 19 - 30 = -10. Қорытындысы: - 1-ші полином: бөлінді Q1(x) = x^5 - x^4 + x^3 + 8x^2 - 8x + 40; қалдық R1 = -24. - 3-ші полином: бөлінді Q3(x) = x^4 - x^3 + x^2 - x - 6; қалдық R3 = 0. - 2-ші полином: бөлінді Q2(x) = -9x^6 + 9x^5 - 9x^4 + 36x^3 - 36x^2 + 36x - 22; қалдық R2 = 18. - 4-ші полином: бөлінді Q4(x) = x^3 - x^2 + 20x - 20; қалдық R4 = -10. Егер қажет болса, әр қадамды сызба түрінде немесе кесте ретінде де көрсетуге болады.