5.38. Горнер схемасын қолданып, төмендегі көпмүшелерді x + 1 екі-мүшесіне бөлгендегі қалдық пен бөліндіні анықтаңдар: 1) x ^ 6 + 9x ^ 3 + 32x + 16 3) x ^ 5 - 7x - 6 2) 14x - 4 +…

Жақсы. Горнер схемасын (synthetic division) қолдана отырып, әр полиномды x + 1-ге бөлгендегі қалдық пен бөліндіді есептейік. Делитель x + 1-ге қатысты қалдық P(-1) болады. Горнер парақшасында әр қадам үшін коэффициенттерді -1-ге көбейтіп, қосып отырамыз. Нәтиже: P(x) = (x + 1)·Q(x) + R, мұнда Q(x) — бөлінді, R — қалдық.

1. P(x) = x^6 + 9x^3 + 32x + 16

• Көпмүшелікті стандарт кестеге келтіреміз: x^6 + 0x^5 + 0x^4 + 9x^3 + 0x^2 + 32x + 16
• Коэффициеттер: [1, 0, 0, 9, 0, 32, 16]
• Горнер бойынша есептеу:
  • Қалдыққа бастапқы мән: 1
  • 0 + (-1)*1 = -1
  • 0 + (-1)*(-1) = 1
  • 9 + (-1)*1 = 8
  • 0 + (-1)*8 = -8
  • 32 + (-1)*(-8) = 40
  • 16 + (-1)*40 = -24
• Нәтиже:
  • Бөлінді Q(x) = x^5 - x^4 + x^3 + 8x^2 - 8x + 40
  • Қалдық R = -24
• Қысқаша тексеру: P(-1) = (-1)^6 + 9(-1)^3 + 32(-1) + 16 = 1 - 9 - 32 + 16 = -24, бұл қалдыққа сәйкес.

2. P(x) = x^5 - 7x - 6

• Стандарт түрі: x^5 + 0x^4 + 0x^3 + 0x^2 - 7x - 6
• Коэффициеттер: [1, 0, 0, 0, -7, -6]
• Горнер:
  • Қалдыққа бастау: 1
  • 0 + (-1)*1 = -1
  • 0 + (-1)*(-1) = 1
  • 0 + (-1)*1 = -1
  • -7 + (-1)*(-1) = -6
  • -6 + (-1)*(-6) = 0
• Нәтиже:
  • Бөлінді Q(x) = x^4 - x^3 + x^2 - x - 6
  • Қалдық R = 0
• Бұл кері бөлінетіндігін растайды, P(-1) = 0.

3. P(x) = 14x - 4 + 27x^4 - 9x^7

• Стандарт түрі: -9x^7 + 0x^6 + 0x^5 + 27x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 14x - 4
• Коэффициеттер: [-9, 0, 0, 27, 0, 0, 14, -4]
• Горнер (root = -1):
  • Қалдыққа бастапқы: -9
  • 0 + (-1)*(-9) = 9
  • 0 + (-1)*9 = -9
  • 27 + (-1)*(-9) = 36
  • 0 + (-1)*36 = -36
  • 0 + (-1)*(-36) = 36
  • 14 + (-1)*36 = -22
  • -4 + (-1)*(-22) = 18
• Нәтиже:
  • Бөлінді Q(x) = -9x^6 + 9x^5 - 9x^4 + 36x^3 - 36x^2 + 36x - 22
  • Қалдық R = 18
• Қысқаша тексеру: P(-1) = -9(-1)^7 + 27(-1)^4 + 14(-1) - 4 = 9 + 27 - 14 - 4 = 18.

4. P(x) = x^4 + 19x^2 - 30

• Стандарт түрі: x^4 + 0x^3 + 19x^2 + 0x - 30
• Коэффициеттер: [1, 0, 19, 0, -30]
• Горнер:
  • Қалдыққа бастапқы: 1
  • 0 + (-1)*1 = -1
  • 19 + (-1)*(-1) = 20
  • 0 + (-1)*20 = -20
  • -30 + (-1)*(-20) = -10
• Нәтиже:
  • Бөлінді Q(x) = x^3 - x^2 + 20x - 20
  • Қалдық R = -10
• Қысқаша тексеру: P(-1) = 1 + 19 - 30 = -10.

Қорытындысы:

• 1-ші полином: бөлінді Q1(x) = x^5 - x^4 + x^3 + 8x^2 - 8x + 40; қалдық R1 = -24.
• 3-ші полином: бөлінді Q3(x) = x^4 - x^3 + x^2 - x - 6; қалдық R3 = 0.
• 2-ші полином: бөлінді Q2(x) = -9x^6 + 9x^5 - 9x^4 + 36x^3 - 36x^2 + 36x - 22; қалдық R2 = 18.
• 4-ші полином: бөлінді Q4(x) = x^3 - x^2 + 20x - 20; қалдық R4 = -10.

Егер қажет болса, әр қадамды сызба түрінде немесе кесте ретінде де көрсетуге болады.