в выпуклом четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей
Задача: в выпуклом четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. доказать, что площадь равна половине произведения диагоналей.
Обозначим вершины квадрата ABCD, пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O и перпендикулярны: AC ⟂ BD.
Пошаговое решение:
Разделим площадь квадрата на четыре треугольника, образованные вокруг точки пересечения диагоналей: △AOB, △BOC, △COD и △DOA.
Заметим, что AO ⟂ BO, BO ⟂ CO, CO ⟂ DO и DO ⟂ AO, так как AO и CO лежат на диагонали AC, а BO и DO лежат на диагонали BD, которые взаимно перпендикулярны. Следовательно, каждую пару соседних ребер образует прямоугольный угол в точке O.
Для каждого такого треугольника площадь равна половине произведения длин его двух смежных сторон (каких именно: AO и BO для △AOB; BO и CO для △BOC; CO и DO для △COD; DO и AO для △DOA):
- S△AOB = 1/2 · AO · BO
- S△BOC = 1/2 · BO · CO
- S△COD = 1/2 · CO · DO
- S△DOA = 1/2 · DO · AO
Общую площадь квадрата следует суммировать: S = S△AOB + S△BOC + S△COD + S△DOA = 1/2 (AO·BO + BO·CO + CO·DO + DO·AO).
Вынесем общие множители: AO·BO + BO·CO + CO·DO + DO·AO = BO·(AO + CO) + DO·(CO + AO) = (AO + CO) · (BO + DO).
Так как AO + CO = AC (всей диагонали AC) и BO + DO = BD (вся диагональ BD), имеем: S = 1/2 · AC · BD.
Итак, площадь выпуклого quadrilateral с взаимно перпендикулярными диагоналями равна половине произведения длин диагоналей: S = (AC · BD) / 2.
Примечание: формула верна именно потому, что диагонали перпендикулярны и их точки пересечения лежат внутри квадрата (он выпуклый). Если диагонали не перпендикулярны, эта формула не работает в общем случае.
