Найдите площадь равнобедренного треугольника АВС с основанием АС = 10 см и периметром 36 см.

Дано: равнобедренный треугольник ABC с основанием AC = 10 см и периметром P = 36 см. Предположим, равные стороны AB = BC (основание — AC).

Шаги решения:

1. Периметр:

• AB + BC + AC = 36
• Так как AB = BC, получаем 2·AB + 10 = 36 → AB = 13 см.
• Значит AB = BC = 13 см, AC = 10 см.

2. Высота к основанию:

• В равнобедренном треугольнике высота из вершины B к основанию AC является и медианой, то есть делит AC пополам. Отрезок AM = MC = 5 см.
• По прямоугольному треугольнику AB^2 = AM^2 + h^2, где h — высота.
• 13^2 = 5^2 + h^2 → 169 = 25 + h^2 → h^2 = 144 → h = 12 см.

3. Площадь:

• S = (1/2) · base · height = (1/2) · 10 · 12 = 60 см^2.

Проверка (опционально, через Герона):

• Полупериметр p = 36/2 = 18.
• S = sqrt(p(p−AB)(p−BC)(p−AC)) = sqrt(18·5·5·8) = sqrt(3600) = 60 см^2.
• Совпадает.

Ответ: площадь треугольника равна 60 см².