В тетраэдре DABC ребро BD перпендикулярно плоскости ABC. Известно, что AB=BC=CA=BD. Точка M- середина ребра BC. Плоскость, проходящая через точку M и перпендикулярна прямой AD,…
В тетраэдре DABC ребро BD перпендикулярно плоскости ABC. Известно, что AB=BC=CA=BD. Точка M- середина ребра BC. Плоскость, проходящая через точку M и перпендикулярна прямой AD, пересекает ребро AD в точке K. Найдите отношение AK:KD.
Ответ: AK:KD = 3:5.
Краткое рассуждение:
Пусть длина ребра AB = BC = CA = BD = s. Поместим треугольник ABC в плоскость z = 0 так, чтобы B = (0,0,0), C = (s,0,0), A = (s/2, (√3/2)s, 0). Так как BD ⟂ плоскости ABC и BD = s, то D = (0,0,s). Точка M — середина BC: M = (s/2, 0, 0).
Линия AD задаётся как A + t(D − A), где D − A = (−s/2, −(√3/2)s, s). Обозначим v = D − A.
Поскольку плоскость через M перпендикулярна AD, точка K есть проекция точки M на прямую AD: K = A + t0 v, где t0 удовлетворяет (K − M) ⟂ v, то есть v · (K − M) = 0.
Вычислим t0 из условия проекции: M − A = (0, −(√3/2)s, 0), v = (−s/2, −(√3/2)s, s). t0 = ((M − A) · v) / (v · v) = [0·(−s/2) + (−(√3/2)s)·(−(√3/2)s) + 0·s] / [ (−s/2)² + (−(√3/2)s)² + s² ] = [(3/4)s²] / [ (1/4)s² + (3/4)s² + s² ] = (3/4)s² / (2s²) = 3/8.
На отрезке AD расстояние AK пропорционально t0: AK = t0·AD, KD = (1 − t0)·AD. Следовательно, AK:KD = t0:(1 − t0) = (3/8):(5/8) = 3:5.
