Задача: определить, имеет ли приведённая матрица обратную.
Матрица A:
[ [2, 1],
[3, 1],
[0, 6] ]
1) Признак обратности: обратная матрица существует только для квадратных матриц. Тут размер 3×2, не квадратная, значит обычной обратной матрицы нет.
2) Но можно рассмотреть левую обратную (для полноты данных): левый обратный L размером 2×3 такой, что L A = I2.
- Проверим ранг: столбцы c1 = [2,3,0]^T и c2 = [1,1,6]^T линейно независимы.
Решение α c1 + β c2 = 0 даёт 6β = 0 → β = 0; затем 2α = 0 → α = 0. Значит ранг A = 2 (максимум по количеству столбцов).
Поскольку ранг равен числу столбцов, существует левый обратный.
3) Приведём пример левного обратного L (2×3), такой что L A = I2:
Один простой вариант можно получить решением системы
L = [ [a, b, c],
[d, e, f] ],
и требованием
L A = I2 даёт:
2a + 3b = 1
a + b + 6c = 0
2d + 3e = 0
d + e + 6f = 1
Одно решение:
L = [ [0, 1/3, -1/18],
[0, 0, 1/6] ]
Проверка: L A = I2.
4) Примечание: можно también получить левый обратный через псевдообратную ( Moore–Penrose ):
L = (A^T A)^{-1} A^T, где A^T A = [[13, 5], [5, 38]] и det(A^T A) = 469 ≠ 0. Тогда
L = (A^T A)^{-1} A^T = (1/469) [ [71, 109, -30],
[3, -2, 78] ].
Это тоже левый обратный, т.е. L A = I2.
Итог:
- Обычная обратная матрица у данной матрицы отсутствует, так как матрица не квадратная.
- У матрицы есть левый обратный (например, L выше), так как ранк столбцов равен числу столбцов.
