F(x)=x³/3-x²

Разберём функцию f(x) = x^3/3 − x^2 и найдём её основные характеристики шаг за шагом. 1) Область определения - Это полином, поэтому область определения вся числовая ось: x ∈ R. 2) Пересечения с осями - y-перехват: f(0) = 0, значит точка (0, 0). - x-пересечения (решаем f(x) = 0): x^3/3 − x^2 = x^2(x/3 − 1) = 0 => x = 0 (кратность 2) или x = 3. Значит точки пересечения с осью x: x = 0 (двойной корень) и x = 3. 3) Производная и критические точки - Первая производная: f'(x) = x^2 − 2x = x(x − 2). - Критические точки: f'(x) = 0 при x = 0 и x = 2. - Значения функции в критических точках: f(0) = 0 f(2) = (8/3) − 4 = 8/3 − 12/3 = −4/3 4) Вторая производная и выпуклость - Вторая производная: f''(x) = 2x − 2. - Точка перегиба/инфлексия там, где f''(x) = 0: x = 1. - Значение функции в инфлексии: f(1) = 1/3 − 1 = −2/3. 5) Типы сопротивления и монотонность - По знаку f'(x): - при x < 0: f'(x) > 0 → функция возрастает; - при 0 < x < 2: f'(x) < 0 → функция убывает; - при x > 2: f'(x) > 0 → функция возрастает. - Следовательно: - локальный максимум в точке (0, 0) - локальный минимум в точке (2, −4/3) 6) Поведение графика и концовки - При больших x вправо f(x) → +∞, при больших отрицательных x влево f(x) → −∞ (ведущий член x^3/3 доминирует). - Инфлексия в x = 1: график меняет выпуклость с нисходящей на восходящую. 7) Краткий вывод по ключевым точкам - Локальный максимум: (0, 0) - Локальный минимум: (2, −4/3) - Инфлексия: (1, −2/3) - Корни: x = 0 (двойной), x = 3 - Пересечение с осью y: (0, 0) Если нужно, можно привести пример наброска графика или построить таблицу значений на промежутках (-∞,0), (0,2), (2, ∞) для наглядности.