На сторонах АС и АВ треугольника АВС отметили соответственно точки D и Р так, что CD : DA = 6 : 1, AP : PB = 3 : 2. В каком отношении прямая DP делит медиану АМ?

Задача: На сторонах AC и AB треугольника ABC отмечены D и P так, что CD:DA = 6:1 и AP:PB = 3:2. В каком отношении прямая DP делит медиану AM (M – середина BC)?

Решение (один из простых и надёжных подходов — аффинная замена и координаты):

1. Упростим конфигурацию с помощью аффинного преобразования: положим

• A = (0, 0)
• B = (1, 0)
• C = (0, 1)

Тогда медиана AM идёт к середине BC, где

• M = середина BC = ((1+0)/2, (0+1)/2) = (0.5, 0.5).

2. Найдём точки D и P по заданным отношениям.

• D лежит на AC и CD:DA = 6:1. Это значит AD = 1/7 от AC. Так как AC идёт из A(0,0) в C(0,1), получаем D = (0, 1/7).
• P лежит на AB и AP:PB = 3:2. Это значит AP = 3/5 от AB. Так как AB идёт из A(0,0) в B(1,0), получаем P = (3/5, 0).

3. Описания прямых:

• Прямая DP: через D(0, 1/7) и P(3/5, 0). В параметрической форме DP: (x, y) = D + t (P − D) = ( (3/5)t, 1/7 − (1/7)t ), где t ∈ [0,1].
• Прямая AM: через A(0,0) и M(0.5, 0.5). В параметрической форме AM: (x, y) = A + s (M − A) = (0.5s, 0.5s), где s ∈ [0,1].

4. Найдём точку пересечения X = DP ∩ AM, сравнивая координаты:

• По x: (3/5)t = 0.5 s
• По y: (1 − t)/7 = 0.5 s

Из двух уравнений найдем t: (3/5)t = (1 − t)/7 26t = 5 t = 5/26

Тогда из первого уравнения найдём s: 0.5 s = (3/5) t = (3/5)·(5/26) = 3/26 s = 6/26 = 3/13

5. Положение точки X на AM задаётся параметром s = 3/13. Значит AX = (3/13)·AM, XM = (1 − 3/13)·AM = (10/13)·AM. Следовательно отношение AX : XM = (3/13) : (10/13) = 3 : 10.

Ответ: прямая DP делит медиану AM в отношении 3:10 (AX:XM = 3:10).