Из вершины C, равностороннего треугольника ABC, сторона которого равна 8, восстановлен перпендикуляр SC, равный 12. найди градусную меру двугранного угла SABC

Решение с подробным объяснением (для средней школы, без указания предмета/класса)

Задано:

• △ABC равносторонний, сторона AB = BC = CA = 8.
• Точка S такова, что SC перпендикулярно плоскости △ABC и SC = 12.
• Нужно найти величину двугранного угла SABC (угол между двумя плоскостями SAC и SBC, т.е. угол между плоскостями, лежащими в сторону A и B от ребра SC).

Шаг 1. Установка координат Положим плоскость ABC в плоскость z = 0. Пусть C = (0, 0, 0). Выберем равносторонний треугольник так, чтобы CA = 8 и CB = 8:

• A = (8, 0, 0)
• B = (4, 4√3, 0) (поскольку центр равностороннего треугольника и высота дают такие координаты)

Точка S лежит над C по перпендикулярной к плоскости линии, SC ⟂ плоскости ABC и SC = 12:

• S = (0, 0, 12)

Шаг 2. Нормали к двум целевым плоскостям Плоскость SAC задаётся точками S, A, C. Вектора SA и SC:

• SA = A − S = (8, 0, −12)
• SC = C − S = (0, 0, −12)

Вектор-нормаль к плоскости SAC:

• n1 = SA × SC
• n1 = |i j k| |8 0 −12| |0 0 −12| = (0, 96, 0)

Плоскость SBC задаётся точками S, B, C. Вектора SB и SC:

• SB = B − S = (4, 4√3, −12)
• SC = (0, 0, −12)

Вектор-нормаль к плоскости SBC:

• n2 = SB × SC
• n2 = |i j k| |4 4√3 −12| |0 0 −12| = (−48√3, 48, 0)

Шаг 3. Угол между двумя плоскостями Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормалями. Найдём косинус этого угла:

• n1 · n2 = (0)(−48√3) + (96)(48) + (0)(0) = 4608
• |n1| = √(0^2 + 96^2 + 0^2) = 96
• |n2| = √((−48√3)^2 + 48^2 + 0^2) = √(6912 + 2304) = √9216 = 96

cos(θ) = (n1 · n2) / (|n1||n2|) = 4608 / (96·96) = 4608 / 9216 = 1/2

Тогда θ = arccos(1/2) = 60°.

Ответ: двугранный угол SABC равен 60°.