Плошадь параллелограмма АВСД равна 88. Точка Е делит стороку CD в отношении угол DE EC = 5:6. Найдите пло- шаль треугольника AED

Задача: Площадь параллелограмма ABCD равна 88. Точка E делит сторону CD в отношении DE:EC = 5:6. Найдите площадь треугольника AED.

Решение (двумя методами; первый способ — через отношения площадей):

1. Прямой геометрический подход с делением площади пополам

• Поскольку диагональ AC делит параллелограмм ABCD на два равных по площади треугольника, имеем: площадь треугольника ADC = 88 / 2 = 44.
• DE:EC = 5:6 значит DE/DC = 5/(5+6) = 5/11.
• Тройки триугольников AED и ADC имеют общую высоту к линии CD (точка A находится на той же стороне относительно линии CD). Их основания ED и DC лежат на одной прямой CD, поэтому площади пропорциональны основаниям: площадь(AED) = (DE/DC) · площадь(ADC) = (5/11) · 44 = 20.

Ответ: 20.

Проверка через векторное/координатное представление (для уверенности):

• Пусть AB = v, AD = w, тогда площадь параллелограмма ABCD = |det(v, w)| = 88.
• E на CD так, что DE:EC = 5:6, значит DE/CD = 5/11. Так как D = w, C = v + w, точка E = D + (5/11)·v = w + (5/11)·v.
• Площадь треугольника AED (A в начале координат) равна 1/2·|det(E, D)| = 1/2·|(det(w + (5/11)v, w))| = 1/2·(5/11)|det(v, w)| = (5/11)·(1/2)·88 = (5/11)·44 = 20.
• Совпадает с полученным above.

Итак, площадь треугольника AED равна 20.