На рисунке 48 прямые AB и CD параллельны.Докажите,что биссектрисы углов EKB и EPD параллельны.
Краткое допущение к задаче (как обычно в подобных рисунках):
- AB и CD параллельны.
- K лежит на AB, D лежит на CD, B и D — точки на соответствующих прямых.
- E, K и P лежат на одной прямой g (то есть KE и PE — один и тот же луч, проходящий через E и пересекающий AB в K и CD в P).
Тогда ∠EKB — это угол между линией g (KE) и линией AB (KB лежит на AB). А ∠EPD — это угол между той же линией g (EP) и линией CD (PD лежит на CD).
Пошаговое доказательство
Обозначим α как угол между линией g и AB. Так как AB ∥ CD, угол между той же линией g и CD тоже равен α. Следовательно: ∠EKB = α и ∠EPD = α.
Пусть b_K и b_P — биссектрисы соответствующих углов ∠EKB и ∠EPD.
Биссектриса каждого угла делит этот угол на две равные части. Значит:
- b_K образует угол α/2 с AB и α/2 с g;
- b_P образует угол α/2 с CD и α/2 с g.
Поскольку AB ∥ CD, линии, образующие угол α/2 с AB, совпадают по направлению с линиями, образующими угол α/2 с CD. То есть направление b_K совпадает по отношению к AB с направлением b_P по отношению к CD. Следовательно, b_K ∥ b_P.
Вывод: биссектрисы углов ∠EKB и ∠EPD параллельны.
Комментарий на случай, если кто-то не видит явного допущения: Главное здесь то, что K лежит на AB, P лежит на CD, а E, K, P лежат на одной прямой. Именно это обеспечивает, что углы ∠EKB и ∠EPD имеют одинаковый меру α, потому что AB ∥ CD. Тогда их биссектрисы будут параллельны.
