y=x²+4

Задача: y = x^2 + 4 Цель: Понять, что за функция и как она выглядит на координатной плоскости (для 8 класса алгебры).

1. Что за выражение y = x^2 + 4

• Это квадратная функция. График — парабола, открывающаяся вверх.
• Вершина параболы и ось симметрии дают ключевые характеристики: вершина находится в точке (0, 4), ось симметрии проходит по прямой x = 0.

2. Параметры параболы

• Коэффициент при x^2: a = 1 (>0), значит парабола открывается вверх.
• Смещение относительно базовой параболы y = x^2: парабола поднята вверх на 4 единицы. Можно записать как y = (x - 0)^2 + 4.
• Вершина: (0, 4).
• Ось симметрии: x = 0 (ось проходит через вершину).

3. Интерцепты и базовые точки

• П y-перехват: чтобы найти точку пересечения с осью y, подставляем x = 0: y = 0^2 + 4 = 4. Значит, y-перехват: (0, 4).
• Пересечение с осью x (x-перехоты): решаем уравнение x^2 + 4 = 0. x^2 = -4. Нет действительных решений, поэтому реальных x-пересечений с осью x нет.
• Примеры точек на графике (подбор значений x и вычисление y): x = -3 → y = 9 + 4 = 13 x = -2 → y = 4 + 4 = 8 x = -1 → y = 1 + 4 = 5 x = 0 → y = 0 + 4 = 4 x = 1 → y = 1 + 4 = 5 x = 2 → y = 4 + 4 = 8 x = 3 → y = 9 + 4 = 13

4. Таблица значений (пример)

• x: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
• y: 13, 8, 5, 4, 5, 8, 13

5. Как выглядит график

• Парабола имеет форму «чаши» и симметрична относительно оси x = 0.
• Нижняя точка графика — вершина, на минимальном уровне y = 4 (при x = 0).
• График никогда не пересекает ось x; слева и справа растёт квадратно.

6. Область определения и множество значений

• Область определения (Domain): все действительные числа, то есть x ∈ (-∞, +∞).
• Множество значений (Range): y ≥ 4. То есть минимальное значение — 4, выше него значения любой.

7. Связь с базовой функцией y = x^2

• Эта функция — просто y = x^2, но с добавлением константы 4. Это эквивалентно параболе той же формы, с вершиной в (0, 4) и на 4 единицы выше базовой параболы.

8. Примеры типичных задач и как решать

• Найти y при заданном x: Например, для x = 5: y = 5^2 + 4 = 25 + 4 = 29.
• Найти x для заданного y (если y задано): Пусть y = 10. Тогда x^2 + 4 = 10 → x^2 = 6 → x = ±√6 ≈ ±2.449. В общем, для любого заданного y ≥ 4 можно решить x = ±√(y - 4).
• Найти минимальное значение функции и где оно достигается: Минимум y = 4 достигается при x = 0 (вершина параболы).

9. Краткий вывод

• y = x^2 + 4 — парабола вверх, вершина в (0, 4), ось симметрии x = 0.
• Область определения — все real x; множество значений — y ≥ 4.
• График можно нарисовать, построив несколько точек или по форме y = x^2 с вертикальным смещением на 4.

Если хочешь, могу привести конкретные примеры заданий на нахождение y по x или решение уравнений вида x^2 + 4 = заданное число, или построить точную таблицу значений для диапазона x.