(y-y²)

Вот как можно разобрать выражение f(y) = y − y^2 и понять его свойства.

1. Факторизация

• y − y^2 = y(1 − y).
• Корни: f(y) = 0 при y = 0 и y = 1.

2. Стандартная форма параболы

• Запишем как f(y) = −y^2 + y. Это парабола, открытая вниз (коэффициент a = −1).

3. Вершина параболы (максимум)

• Формула вершины по параболе a y^2 + b y + c: y_v = −b/(2a).
• Здесь a = −1, b = 1, значит y_v = −1/(2·−1) = 1/2.
• Значение в вершине: f(1/2) = (1/2) − (1/2)^2 = 1/2 − 1/4 = 1/4.
• Итог: максимальное значение функции равно 1/4 и достигается при y = 1/2.

4. Завершение квадрата (альтернативный подход к вершине)

• y − y^2 = −(y^2 − y) = −[(y − 1/2)^2 − 1/4] = 1/4 − (y − 1/2)^2.
• Это явно демонстрирует максимум 1/4 в точке y = 1/2.

5. Производная (для проверки)

• f'(y) = 1 − 2y.
• При f'(y) = 0 получаем y = 1/2, а вторая производная f''(y) = −2 < 0 подтверждает максимум.

6. Пример значений

• f(0) = 0, f(1) = 0.
• f(−1) = −1 − 1 = −2.
• f(2) = 2 − 4 = −2.
• Максимум 1/4 на y = 1/2.

Коротко:

• Факторизация: f(y) = y(1 − y).
• Максимум: 1/4 при y = 1/2.
• Нули: y = 0 и y = 1.
• График — парабола, открыта вниз, вершина в (y, f(y)) = (1/2, 1/4).

Если хочешь, могу привести график или решить задачу на максимальное значение/построение графика по конкретным значениям y.