В прямоугольным треугольнике АВС с гипотенузой АВ проведена высота СН. Найдите НВ ,если угол А =60 градус АН=3 см

Идет задача в прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AB и высотой CH на AB. Угол A = 60°, AN = 3 см, где N — проекция точки A на прямую CH (то есть AN — расстояние от A до CH). Найдем HB.

1. Так как угол A = 60°, то пусть AC = x, тогда BC = x√3, AB = 2x (30-60-90 треугольник).

2. Введем координаты: C = (0,0), A = (x,0), B = (0, x√3). Тогда:

   • Наклон AB равен (x√3 − 0)/(0 − x) = −√3, следовательно CH перпендикулярна AB и имеет наклон 1/√3. Чертеж CH: y = x/√3.

3. Точка H — пересечение AB и CH. Решив систему, получаем H = (3x/4, x√3/4). Тогда HB = расстояние между H и B: HB = sqrt[(0 − 3x/4)^2 + (x√3 − x√3/4)^2] = sqrt[9x^2/16 + 27x^2/16] = (3/2)x.

   Также AH = AB − HB = 2x − (3/2)x = x/2, что соответствует геометрическим свойствам высоты к гипотене.

4. Расстояние от A до CH (то есть AN) задается формулой расстояния точки до прямой: для CH в виде x/√3 − y = 0 получаем AN = |x/√3 − 0| / sqrt[(1/√3)^2 + (−1)^2] = (x/√3) / sqrt(1/3 + 1) = (x/√3) / (2/√3) = x/2.

5. По условию AN = 3 см, значит x/2 = 3 ⇒ x = 6 см. Тогда HB = (3/2) x = (3/2)·6 = 9 см.

Ответ: HB = 9 см.