Задача Задача №3560973
А
А
На числовой прямой даны отрезки: B = [10;23], С = [12;30]. Укажите наименьшую длину такого отрезка А, для которого логическое выражение ¬(x∈B)∨(x∈A)∨¬(x∈C) истинно (т. е.…
Запрос пользователя
На числовой прямой даны отрезки: B = [10;23], С = [12;30]. Укажите наименьшую длину такого отрезка А, для которого логическое выражение ¬(x∈B)∨(x∈A)∨¬(x∈C) истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной x.
Ниже подробное решение.
Цель: понять, при каких условиях выражение истинно для любого x, и найти минимальную длину отрезка A.
- Разбор выражения
- Нам дано: ¬(x ∈ B) ∨ (x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ C).
- Целый OR истинен для всех x. Ошибка возможна только тогда, когда все три слагаемых ложны.
- Ложны будут: ¬(x ∈ B) и ¬(x ∈ C) и ¬(x ∈ A).
- Чтобы OR был истинным для любого x, достаточно чтобы для всех x, где x ∈ B и x ∈ C (то есть в пересечении B и C) выполнялось x ∈ A. Потому что в таких x оба первых слагаемых ложны, и единственный способ получить истину — x ∈ A.
- Найдём пересечение B и C
- B = [10, 23], C = [12, 30].
- B ∩ C = [max(10,12), min(23,30)] = [12, 23].
- Что это значит для A?
- A должен содержать B ∩ C, то есть включать все x из [12, 23].
- Чтобы A был отрезком (интервалом) и имел минимальную длину, он должен быть exactly [12, 23].
- Длина и проверка
- Длина отрезка [12, 23] = 23 − 12 = 11.
- Любой другой отрезок, содержащий [12, 23], будет иметь длину не меньше 11. Поэтому минимальная длина равна 11, достигается A = [12, 23].
Ответ:
- Минимальная длина A равна 11.
- Прямой выбор: A = [12, 23].
