В выпуклом четырёхугольнике диагонали взаимно перпенди-кулярны. Докажите, что площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей.

Пусть ABCD — выпуклый четырёхугольник, диагонали AC и BD пересекаются в точке O и взаимно перпендикулярны.

Разделим площадь квадрилатера на четыре треугольника ABO, BCO, CDO, DAO. Так как диагонали перпендикулярны, углы AOB, BOC, COD, DOA равны 90°, и соответствующие треугольники — прямые.

Тогда площади этих треугольников равны:

• S_ABO = 1/2 · AO · BO
• S_BCO = 1/2 · BO · CO
• S_CDO = 1/2 · CO · DO
• S_DAO = 1/2 · DO · AO

Суммируем их: S = S_ABO + S_BCO + S_CDO + S_DAO = 1/2 (AO·BO + BO·CO + CO·DO + DO·AO) = 1/2 [(AO+CO)(BO+DO)] = 1/2 · AC · BD,

поскольку AO+CO = AC и BO+DO = BD.

Следовательно, площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей.