sin²x+cos²x

Цель: понять и получить детальное объяснение.

Ответ: для любых действительных x выполняется тождество sin²x + cos²x = 1.

Пошаговое объяснение:

• Справа в единичной окружности координаты точки на окружности под углом x равны (cos x, sin x). По теореме Пифагора для любого радиуса 1 имеем: (cos x)² + (sin x)² = 1².

• Отсюда угол x удовлетворяет: sin²x + cos²x = 1.

• Альтернативный способ доказательства: из базовой тождественности sin²x + cos²x = 1 можно получить и рассуждать обратным путём:

  • sin²x = 1 − cos²x.
  • Тогда sin²x + cos²x = (1 − cos²x) + cos²x = 1.

• Применение: если нужно упростить выражение, содержащее sin²x + cos²x, можно заменить его единицей. Примеры:

  • sin²x + cos²x = 1
  • sin²x + cos²x + 3 = 4
  • 2(sin²x + cos²x) = 2

Проверочные примеры:

• x = 0: sin 0 = 0, cos 0 = 1 → 0² + 1² = 1
• x = π/2: sin = 1, cos = 0 → 1² + 0² = 1
• x = π/3: sin²x = (√3/2)² = 3/4; cos²x = (1/2)² = 1/4 → сумма = 1

Если хочешь, могу показать ещё примеры или применить тождество к конкретной задаче (например, решить уравнение или привести выражение к простейшему виду).