катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4, а гипотенуза равна 50мм, найдите отрезки, на которые гипотенуза делится высотой, проведенной из вершины прямого угла

Задача в разборе:

Дано прямоугольный треугольник с катетами в отношении 3:4, гипотенуза c = 50 мм. Определить длины двух отрезков на гипотенузе, на которые она делится высотой, проведённой из вершины прямого угла.

Пошаговое решение:

1. Пусть стороны треугольника обозначим как a и b — длины катетов, а c — длина гипотенузы. По условию a:b = 3:4, значит можно записать a = 3k, b = 4k, где k — положительная константа.

2. По теореме Пифагора для данного треугольника: c^2 = a^2 + b^2 = (3k)^2 + (4k)^2 = 9k^2 + 16k^2 = 25k^2. Следовательно c = 5k.

   Дано: c = 50 мм. Поэтому 5k = 50 → k = 10.

   Получаем длины катетов: a = 3k = 30 мм, b = 4k = 40 мм.

3. Высота h, проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу AB, делит гипотенузу на два отрезка AD и DB. В прямоугольном треугольнике с такой конфигурацией свойства подобия дают формулы: AD = a^2 / c, DB = b^2 / c. Это следует изSimilarTriangles: треугольник ACD подобен самому треугольнику ABC, и аналогично для треугольника CBD.

4. Вычисляем отрезки: AD = a^2 / c = 30^2 / 50 = 900 / 50 = 18 мм, DB = b^2 / c = 40^2 / 50 = 1600 / 50 = 32 мм.

5. Проверка: AD + DB = 18 + 32 = 50 мм, что совпадает с длиной гипотенузы, значит ответ согласуется.

Ответ: гипотенуза делится на отрезки длиной 18 мм и 32 мм (соответственно ближний к катету 30 мм — 18 мм, ближний к катету 40 мм — 32 мм). Дополнительно можно заметить, что высота h = ab / c = (30 · 40) / 50 = 24 мм.