В равнобедренном треугольнике NMF с основанием NM на стороне NF зята точка P а на стороне MF точка S так ,что FP=FS . Докажите что треугольники NSM и MPN равны

Задача: В равнобедренном треугольнике NMF с основанием NM вершина F образует вершину, а NF = MF. На NF взята точка P, на MF — точка S, такие что FP = FS. Доказать, что треугольники NSM и MPN равны.

Решение (пошагово):

• Шаг 1. Зафиксируем ось симметрии равнобедренного треугольника NMF. Так как NM — основание, NF = MF, значит фигура симметрична относительно прямой FX, где X — середина NM. Эта прямая FX проходит через вершину F и является осямой симметрии треугольника.

• Шаг 2. Подействуем симметрией относительно прямой FX. Подчеркнем свойства этой симметрии:

  • N и M взаимно переходят друг в друга: ρ(N) = M и ρ(M) = N.
  • Линия NF переходит в линию MF, т.е. точки на NF переходят на соответствующие точки на MF.

• Шаг 3. Учитывая условие FP = FS и то, что P лежит на NF, S — на MF, получаем: точка P и точка S являются образами друг друга под той же симметрией ρ относительно FX. То есть ρ(P) = S.

• Шаг 4. Применим симметрию к треугольнику NSM. При отражении:

  • N сопоставляется M,
  • S сопоставляется P,
  • M сопоставляется N. То есть симметрия ρ переводит треугольник NSM в треугольник MPN.

• Шаг 5. Следствие CPCTC: соответствующие стороны треугольников NSM и MPN равны:

  • NS = MP,
  • SM = PN,
  • NM = MN (общая сторона).

• Вывод: треугольники NSM и MPN равны (равны по соответствующим сторонам и по расположению).

Дополнительная заметка (по желанию): можно также привести координатное решение, разместив NM на оси Ox (например, N(-a,0), M(a,0), F(0,h)), выбрать P на NF и S на MF с FP = FS и получить тот же вывод через равенство соответствующих сторон треугольников NSM и MPN. Но основной и наиболее наглядный путь здесь — симметрия относительно оси FX.