Сгенерируй тест для школьников с учетом следующих параметров: 1. Предмет: Математика 2. Тема теста: Подобие треугольников. Теорема Фалес 3. Класс учеников: 8 4. Типы вопросов в…
Сгенерируй тест для школьников с учетом следующих параметров: 1. Предмет: Математика 2. Тема теста: Подобие треугольников. Теорема Фалес 3. Класс учеников: 8 4. Типы вопросов в тесте: Открытый вопрос 5. Количество вопросов: 7 6. Выводить ли тест с ответами: Да
Ниже представлен тест по теме: Подобие треугольников. Теорема Фалеса. Тип вопросов: открытый. Класс: 8. Всего 7 вопросов. В конце — ответы.
Название: Тест по математике — Подобие треугольников. Теорема Фалеса
Инструкции:
- Все вопросы — открытые. Покажите расчёты.
- Сохраните знание о теореме Фалеса: параллельная сторонаDE к BC приводит к пропорциям AD/AB = AE/AC = DE/BC.
Вопросы
В треугольнике ABC проведена прямая DE, параллельная BC. D лежит на AB, E лежит на AC. Известны AB = 12, AC = 18, AD = 4. Найдите AE.
В треугольнике ABC через стороны AB и AC проведена прямая DE параллельно BC. Длины: AB = 9, AC = 12, AD = 6. Найдите AE.
В треугольнике ABC D лежит на AB так, что AD = DB (D — середина AB). DE ∥ BC. Даны AB = 14, AC = 20. Найдите AE.
В треугольнике ABC DE ∥ BC, D лежит на AB, E лежит на AC. Даны AD = 5, DB = 7 (то есть AB = 12), DE = 4. Найдите BC.
В треугольнике ABC DE ∥ BC. Даны AB = 12, AD = 4, AC = 20. Найдите отношение площадей треугольников ADE и ABC.
В треугольнике ABC DE ∥ BC. Даны AB = 15, AD = 6, AC = 21. Найдите AE.
Объясните по теореме Фалеса: если на сторонах AB и AC отрезки AD и AE удовлетворяют AD/AB = AE/AC, то DE ∥ BC. Приведите обоснование и кратко докажите.
Ответы
AE = (AD/AB) · AC = (4/12) · 18 = 6
AE = (AD/AB) · AC = (6/9) · 12 = 8
Поскольку AD = AB/2, то AE = AC/2 = 20/2 = 10
Пропорция DE/BC = AD/AB. Отсюда BC = DE · AB / AD = 4 · 12 / 5 = 48/5 = 9.6
Отношение площадей ADE и ABC равно (AD/AB)^2 = (4/12)^2 = (1/3)^2 = 1/9. Ответ: 1:9
AE = (AD/AB) · AC = (6/15) · 21 = (2/5) · 21 = 42/5 = 8.4
Доказательство: если AD/AB = AE/AC и общий угол при вершине A одинаков, то треугольники ADE и ABC подобны по признаку SAS. Следовательно, DE ∥ BC и DE/BC = AD/AB. Обратная часть: если DE ∥ BC, то углы в A совпадают и соответствующие стороны пропорциональны, значит AD/AB = AE/AC. Таким образом, условие AD/AB = AE/AC эквивалентно DE ∥ BC.
