На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки М и К, так что AM: MB = 2:3, BK: KC=4:5. Через середину отрезка МК и вершину В провели прямую. В каком отношении она делит сторону…

Решение с координатами (общий подход для средней школы)

1. Задаем удобную систему координат:

• A = (0, 0)
• B = (1, 0)
• C = (0, 1)

2. На AB точка M: AM:MB = 2:3. Длина AB = 1, поэтому M делит AB в отношении 2/5 от A к B:

• M = A + (2/5)(B − A) = (2/5, 0).

3. На BC точка K: BK:KC = 4:5. По BC (B к C) BK = 4/9 от BC:

• K = B + (4/9)(C − B) = (1,0) + (4/9)(−1,1) = (5/9, 4/9).

4. Найдем середину MK, назовем её P:

• P = ( (x_M + x_K)/2, (y_M + y_K)/2 ) = ( (2/5 + 5/9)/2, (0 + 4/9)/2 ) = (43/90, 2/9).

5. Прямая через B и P пересекает сторону AC. Поскольку AC — это линия x = 0 (от A(0,0) до C(0,1)), найдём точку пересечения X этой прямой с x = 0.

Направляющий вектор прямой BP: P − B = (43/90 − 1, 2/9 − 0) = (−47/90, 2/9). Параметрическая запись: X(t) = B + t(P − B) = (1 − (47/90)t, (2/9)t).

Условия пересечения с AC: x = 0 ⇒ 1 − (47/90)t = 0 → t = 90/47. Тогда y = (2/9) t = (2/9) · (90/47) = 180/423 = 20/47.

Итак, точка пересечения X имеет координаты X = (0, 20/47) на AC.

6. Теперь отношение AX:XC на стороне AC:

• AX = 20/47 от длины AC, XC = 1 − 20/47 = 27/47.
• Поэтому AX:XC = 20:27 (или AX/AC = 20/47).

Ответ: прямая делит сторону AC в отношении AX:XC = 20:27.