у=(х–4)²–3

Это квадратная функция y = (x − 4)^2 − 3. Разберём её по шагам и объясним все свойства.

1. Что из себя представляет функция

• Это парабола, ветви направлены вверх (коэффициент перед квадратичным членом положительный: 1).
• Вершина параболы задаёт минимальное значение функции.

2. Вершина и ось симметрии

• Форма y = (x − h)^2 + k говорит нам, что вершина принадлежит к точке (h, k). Здесь h = 4, k = −3.
• Значит вершина параболы: V(4, −3).
• Ось симметрии: x = 4.

3. Стандартная и полный квадрат

• По определению это уже форма полного квадрата. Но можно привести к стандартной квадратно-рациональной форме: (x − 4)^2 − 3 = (x^2 − 8x + 16) − 3 = x^2 − 8x + 13.
• Так что эквивалентно: y = x^2 − 8x + 13.

4. Минимум, диапазон значений и область определения

• Поскольку коэффициент a = 1 > 0, parabола открывается вверх, значит минимум достигается в вершине.
• Минимальное значение: y_min = −3, при x = 4.
• Область определения: все действительные числа, D = R.
• Область значений: диапазон y ∈ [−3, ∞).

5. Примеры значений (проверка)

• При x = 4: y = (4 − 4)^2 − 3 = 0 − 3 = −3 (вершина).
• При x = 0: y = (−4)^2 − 3 = 16 − 3 = 13.
• При x = 5: y = (1)^2 − 3 = 1 − 3 = −2.
• При x = 3: y = (−1)^2 − 3 = 1 − 3 = −2.

6. Как смотреть на график (описание)

• График — парабола вверх с вершиной в (4, −3).
• Координаты значимых точек можно получить как выше: x-interceptы, y-intercept и т. п. Но прямо из данной формы легко найти y-intercept: при x = 0, y = 13.

7. Что можно сделать дальше (практика)

• Найти производную и определить касательную (для углубления анализа).
• Решать уравнения вида (x − 4)^2 − 3 = c для нахождения пересечений с горизонтальными линиями.
• Решать задачи на преобразование: от y = x^2 до y = (x − 4)^2 − 3 — зачем и как меняются вершина и ось.

Итого: у = (x − 4)^2 − 3 задаёт параболу с вершиной в (4, −3), ось симметрии x = 4, минимальное значение −3, и уравнение в стандартной форме y = x^2 − 8x + 13. Если нужно, могу привести график или решить конкретные задачи на нахождение точек пересечения и значений функции.