у=2х2-6х+11 решение квадратичной функции

Задача: y = 2x^2 - 6x + 11. Найти решение квадратичной функции и свойства графика.

1. Приведём к вершиной форме ( completing the square ):

• y = 2x^2 - 6x + 11
• Выделим коэффициент перед квадратами: y = 2(x^2 - 3x) + 11
• Приведём квадрат: x^2 - 3x = (x - 3/2)^2 - (3/2)^2 = (x - 3/2)^2 - 9/4
• Подставляем: y = 2[(x - 3/2)^2 - 9/4] + 11 = 2(x - 3/2)^2 - 9/2 + 11
• 11 = 22/2, значит: y = 2(x - 3/2)^2 + 13/2

Вершинная форма: y = 2(x - 3/2)^2 + 13/2.

2. Координаты вершины и ось симметрии:

• Координаты вершины: x_v = 3/2, y_v = 13/2.
• Ось симметрии: x = 3/2.
• Минимум функции: y_min = 13/2 ≈ 6.5 (так как a = 2 > 0, parabola вверх).

3. Дискриминант и корни:

• a = 2, b = -6, c = 11
• D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4211 = 36 - 88 = -52 < 0.
• Следовательно, реальных корней нет; корни в комплексной плоскости: x = [6 ± sqrt(-52)] / (2*2) = (6 ± i√52) / 4 = (3 ± i√13)/2.

4. Диапазон значений (область значений):

• Поскольку парабола вверх, диапазон y: y ≥ 13/2.

5. Пример проверки:

• f(3/2) = 2(9/4) - 6(3/2) + 11 = 9/2 - 9 + 11 = 13/2, что совпадает с y_v.

Итого:

• Вершина: (1.5, 6.5)
• Ось симметрии: x = 1.5
• Минимум: 6.5
• Реальных корней нет; комплексные: x = (3 ± i√13)/2
• Каноническая форма: y = 2(x - 3/2)^2 + 13/2
• Диапазон: [13/2, ∞)