Геометрия · 10 класс Задача №3577110
А
А
Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см и 10 см. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к осно-ванию под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности…
Запрос пользователя
Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см и 10 см. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к осно-ванию под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности пи-рамиды.
Задача: основание пирамиды — треугольник со сторонами 12, 10, 10 см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом φ = 45°. Найти площадь боковой поверхности.
Пояснение и решение по шагам
- Свойства основания
- Пусть стороны основания: AB = 12, BC = 10, CA = 10.
- Периметр P = 12 + 10 + 10 = 32 см.
- Полупериметр s = P/2 = 16 см.
- Площадь основания A_base найдём по формуле Герона: A_base = sqrt[s(s−AB)(s−BC)(s−CA)] = sqrt[16·4·6·6] = sqrt[2304] = 48 см².
- Вписанная окружность основания имеет радиус r (радиус вписанной окружности), равный отношению площади к полупериметру: r = A_base / s = 48 / 16 = 3 см.
- Положение вершины над основанием
- Обозначим вершину пирамиды S и опущенную на основание плоскость через точку P (проектировка S на основание).
- Для каждого ребра основания, скажем AB, найдём расстояние d от стороны AB до точки P по основанию. Диэдральный угол между боковой плоскостью, содержащей сторону AB и вершину S, и плоскостью основания равен φ = 45°.
- Связь между высотой пирамиды H = SP_perp (перпендикулярное расстояние от S до основания) и d для данного ребра: tan φ = H / d.
- Так как φ одинаков для всех рёбер, получаем одинаковые d для всех трёх рёбер. Следовательно точка P равноведра до всех сторон треугольника — P является центром вписанной окружности, т.е. d = r = 3 см.
- Из этого H = d · tan φ. Поскольку tan 45° = 1, имеем H = 3 см.
- Высота боковой грани и её площадь
- Рассмотрим любую боковую грань, например грань со стороной AB. Её высота относительно основания AB в плоскости боковой грани равна h = H / sin φ. Подстановка: sin 45° = √2/2, значит h = 3 / (√2/2) = 3√2 см.
- Площадь боковой грани, соответствующей ребру AB длиной a = AB = 12: S_AB = (1/2) · a · h = (1/2) · 12 · 3√2 = 18√2 см².
- Аналогично для ребер BC = 10 и CA = 10: S_BC = S_CA = (1/2) · 10 · 3√2 = 15√2 см².
- Сумма площадей боковой поверхности
- S_lat = S_AB + S_BC + S_CA = 18√2 + 15√2 + 15√2 = 48√2 см².
- Численно: 48√2 ≈ 48 · 1.414 ≈ 67.9 см².
Ответ Площадь боковой поверхности пирамиды равна 48√2 см² (приближённо 67,9 см²).
