МАВС тетраэдр АМ перпендикулярен плоскости АВС МС=4см, СВ=6см угол САВ=120 АС=АВ Найти МА, угол МВС

Задача по геометрии в пространстве: тетраэдр MABC, AM ⟂ плоскости ABC. Даны MC = 4 см, BC = 6 см, AB = AC и угол CAB = 120°. Нужно найти MA и угол MBC.

Пошаговое решение

1. Найдём стороны AB и AC.

• В треугольнике ABC с AB = AC = s и углом A = ∠BAC = 120° формула косинусов даёт: BC^2 = AB^2 + AC^2 − 2·AB·AC·cos(∠A) BC^2 = s^2 + s^2 − 2s^2 cos 120° = 2s^2 − 2s^2(−1/2) = 3s^2.
• Зачем BC = 6? BC^2 = 36, значит 3s^2 = 36 ⇒ s^2 = 12 ⇒ s = AB = AC = 2√3 cm.

2. Размещаем точки в координатной системе.

• Поместим A в начало: A(0,0,0).
• Пусть AB лежит по оси x: B(2√3, 0, 0).
• Учитывая угол при A и равенство AB = AC, возьмём AC длиной 2√3 и направление под углом 120° к AB в плоскости ABC (z=0): C = s·(cos120°, sin120°, 0) = 2√3·(−1/2, √3/2, 0) = (−√3, 3, 0).

3. AM ⟂ плоскости ABC.

• Плоскость ABC лежит в плоскости z = 0, значит AM идёт по оси z. Пусть M = (0, 0, h). Тогда MA = |h|.

4. Используем данное MC = 4.

• Величина MC зависит от h: MC^2 = (0 − (−√3))^2 + (0 − 3)^2 + (h − 0)^2 = (√3)^2 + (−3)^2 + h^2 = 3 + 9 + h^2 = 12 + h^2.
• Так как MC = 4, получаем 12 + h^2 = 16 ⇒ h^2 = 4 ⇒ h = ±2.
• Следовательно MA = |h| = 2 см.

5. Найдём угол ∠MBC.

• Векторы: BM = M − B = (0 − 2√3, 0 − 0, h − 0) = (−2√3, 0, h), BC = C − B = (−√3 − 2√3, 3 − 0, 0) = (−3√3, 3, 0).
• Их длины: |BC| = 6 (дано и проверено), |BM| = sqrt((−2√3)^2 + 0^2 + h^2) = sqrt(12 + h^2) = sqrt(12 + 4) = 4.
• Скалярное произведение: BM · BC = (−2√3)(−3√3) + 0·3 + h·0 = 18.
• Косинус угла: cos ∠MBC = (BM · BC) / (|BM|·|BC|) = 18 / (4·6) = 18/24 = 3/4.
• Следовательно, ∠MBC = arccos(3/4) ≈ 41.41°.

Ответ

• MA = 2 см.
• ∠MBC ≈ 41.41° (точно cos ∠MBC = 3/4).