Задание 1 (15 баллов). △ABC = △A1B1C1. На сторонах BС и B1C1 соответственно отмечены точки D и D1 так, что CD = C1D1. Докажите, что △ABD = △A1B1D1.

Решение (пошагово, с объяснениями)

Даны:

• △ABC ≅ △A1B1C1 (соответствие вершин A↔A1, B↔B1, C↔C1).
• D лежит на BC, D1 лежит на B1C1 и CD = C1D1.

Цель: доказать, что △ABD ≅ △A1B1D1.

Шаг 1. Найдем равенство сторон BD и B1D1

• Так как D находится на BC, то BD = BC − CD.
• Так как D1 находится на B1C1, то B1D1 = B1C1 − C1D1.
• По условию △ABC ≅ △A1B1C1 значит BC = B1C1 и CD = C1D1.
• Следовательно BD = BC − CD = B1C1 − C1D1 = B1D1. Итак, BD = B1D1.

Шаг 2. Соотношение углов

• Угол ABD образован сторонами AB и BD, причем BD лежит на BC. Поэтому угол ABD равен углу ABC.
• Аналогично угол A1B1D1 образуется сторонами A1B1 и B1D1, причем B1D1 лежит на B1C1, значит угол A1B1D1 равен углу A1B1C1.
• Так как △ABC ≅ △A1B1C1, имеем угол ABC = угол A1B1C1. Отсюда угол ABD = угол A1B1D1.

Шаг 3. Применим признак SAS

• Из Шага 1 имеем BD = B1D1.
• Из Шага 2 имеем AB = A1B1 (это следует из того, что △ABC ≅ △A1B1C1) и угол ABD = угол A1B1D1 (из Шага 2).
• С учетом двух сторон AB = A1B1 и BD = B1D1 и заключенного между ними угла ABD = A1B1D1 треугольники ABD и A1B1D1 равны по признаку SAS.

Вывод: △ABD ≅ △A1B1D1.