a²b+b³<0

Задача: найти все пары вещественных чисел (a, b), для которых a^2 b + b^3 < 0.

1. Приведём выражение к факторизованному виду: a^2 b + b^3 = b(a^2 + b^2).

2. Анализируем знаки с учётом свойств a и b:

• a^2 + b^2 всегда неотрицательно и равно нулю только тогда, когда a = 0 и b = 0.
• Поэтому a^2 + b^2 ≥ 0, и для любой пары с b ≠ 0 мы имеем a^2 + b^2 > 0.

3. Разберём случаи по b:

• Если b > 0: тогда b > 0 и a^2 + b^2 ≥ 0, причём а^2 + b^2 > 0, значит произведение b(a^2 + b^2) > 0. Не удовлетворяет неравенству < 0.
• Если b = 0: произведение равно 0. Не удовлетворяет неравенству < 0.
• Если b < 0: тогда b < 0 и a^2 + b^2 > 0 (поскольку b^2 > 0), значит произведение b(a^2 + b^2) < 0. Удовлетворяет неравенству.

4. Вывод: Неравенство a^2 b + b^3 < 0 выполняется тогда, когда b < 0. Для любых значений a (любой вещественный a) при условии b < 0 выражение будет меньше нуля.

Итак, решение: все пары (a, b) с b < 0 (а может быть любым вещественным a).

Некоторые примеры:

• a = 0, b = -1 → a^2 b + b^3 = 0·(-1) + (-1)^3 = -1 < 0.
• a = 5, b = -2 → 25·(-2) + (-2)^3 = -50 - 8 = -58 < 0.