В волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода, установившись утром, держится потом весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет…

Задача про две типы погоды: хорошая (G) и отличная (E). Вероятность остаться тем же типом погоды на следующий день равна 0,9.

Что известно и что ищем:

• P(E -> E) = 0,9; P(E -> G) = 0,1;
• P(G -> G) = 0,9; P(G -> E) = 0,1.
• 9 мая погода E. Нужно найти P(12 мая погода E).

Пошаговое решение:

1. Обозначим p_n как вероятность того, что через n дней (после 9 мая) будет отличная погода, если 9 мая была отличной погодой.

• Тогда p_0 = 1 (в день 9 мая уже E).

2. Обусловленная вероятность переходов задается так:

• если завтра будет E, то остаётся E с вероятностью 0,9;
• если завтра будет G, то станет E с вероятностью 0,1. Следовательно, рекуррентное отношение: p_{n+1} = p_n * 0,9 + (1 - p_n) * 0,1 = 0,8 p_n + 0,1.

3. Посчитаем три шага (с 9 мая до 12 мая):

• p_1 = 0,8 * p_0 + 0,1 = 0,8 * 1 + 0,1 = 0,9
• p_2 = 0,8 * p_1 + 0,1 = 0,8 * 0,9 + 0,1 = 0,72 + 0,1 = 0,82
• p_3 = 0,8 * p_2 + 0,1 = 0,8 * 0,82 + 0,1 = 0,656 + 0,1 = 0,756

4. Ответ:

• Вероятность того, что 12 мая будет отличная погода, равна 0,756.
• В дробном виде это 189/250.

Короткое объяснение на интуицию: каждое следующее утро погода с вероятностью 0,9 повторяет предыдущий день, иначе меняется на противоположную. Через три шага начальная отличная погода идёт к значению 0,756.